Mehrfachintegral berechnen


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Habe folgende Aufgabe:

∭z*(x^2+y^2)dG mit Gebiet x^2+y^2<=R,0<=z=<H

dGz(x2+y2)   mit Gebiex2+y2R,0zH


Kann mir jemand helfen, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?

Habe probleme die Grenzen der Integrale zu erkennen.

Das ausrechnen ist normalerweise kein Problem.

 

gefragt vor 3 Wochen, 5 Tage
B
Ben,
Punkte: 0
 
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1 Antwort
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Hallo,

zuerst sollte dir auffallen, das \( x^2+y^2 = r^2 \) für einen Kreis in der \( x-y-\)Ebene gilt. Deshalb bietet sich als Wahl des Koordinatensystems die Zylinderkoordinaten an

Es gilt 

\( x^2 + y^2 = r^2 \) und \( z = z \)

Denk dran auch das richtige Volumenelement zu nehmen.

Nun zu den Grenzen. Wir müssen für \( r \), \( \varphi \) und für \( z \) die Grenzen aufstellen.

Es gilt \( x^2 + y^2 = r^2 \leq R \).

Darüber erhälst du die obere Grenze. Der Radius ist nur für \( r \geq 0 \) definiert. Damit erhälst du deine untere.

Der Winkel \( \varphi \) hat keine Einschränkung, verläuft also von \( 0 \) bis \( 2 \pi \).

Nun noch zur Höhe. Wenn ich es richtig lese gilt

\( 0 \leq z \leq H \) 

Daraus kannst du sofort die Grenzen für \( z \) ablesen.

Wenn doch noch Fragen offen sich melde dich nochmal. Ich gucke gerne nochmal über deine Lösung drüber.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Wochen, 5 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Hallo Christian,
zunächst einmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Ich habe diese Aufgabe mal versucht zu rechnen und komme auf folgendes Ergebnis:
(1/4)R^4*H^2*Pi
Grüße Ben
  -   Ben, kommentiert vor 3 Wochen, 3 Tage

Nicht ganz. Ich denke du hast für den Radius die Grenzen von \( 0 \) bis \( R \) gewählt. Allerdings gilt
\( 0 \leq (x^2 + y^2) = r^2 \leq R \\ \Rightarrow 0 \leq r \leq \sqrt{R} \)
Du erhälst damit das Ergebnis
\( \frac {\pi} 4 R^2 H^2 \)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Wochen, 3 Tage
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