(lokale) Extrema: falls n ungerade, keine Extrema; Beweis mittels Taylorpolynom


0

 

 

Hey,

ich habe ein Verständnisproblem bzgl. des Beweis' der Existenz von lokalen Extremwerten mittels Taylorpolynom (beispielsweise hier beschrieben:

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Differentialrechnung/Folien_Extremwerttest.pdf

 oder hier

https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/knoopa/p4.pdf

, Folie 13 f. oder hier

http://page.math.tu-berlin.de/~karow/lehre/folien_ana2/taylor_und_extrema.pdf

, Folie 10 f.), stehe aber glaube ich (glücklicherweise) nur auf dem Schlauch...

Warum ist der VZ-Wechsel des Restglieds in \( f^n \) entscheidend? (Daran haperts vermutlich)

 

Danke vorab!

 

 

 

 

gefragt vor 1 Monat
t
taylorppp,
Student, Punkte: 10
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

Hallo,

ich beziehe mich auf deinen zweiten Link. Es gilt 

\( f(x) = f(x_0) + \frac {(x-x_0)^n} {n!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) \)

Es wird zuerst nur der Fall betrachtet das \( f^{(n)}(x_0) > 0 \) gilt. Der Fall \(  f^{(n)}(x_0) < 0 \) läuft analog ab.

Nun da \(  f^{(n)}(x_0) > 0 \) gilt aufgrund der Stetigkeit für alle \( x \) in einem kleinen Intervall um \( x_0 \) auch \( f^{(n)}(x) > 0 \), also

\( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) > 0 \ \forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta) \). 

Jetzt zu den Fällen:

1. Fall:

Wenn \( n \) gerade ist, ist \( (x-x_0)^n \) positiv. 

Das hat folgenden Grund. Mit \( a> 0 \) und \( n \) gerade, also \( n = 2m \) mit \( m \in \mathbb{N} \) gilt

\( (-a)^n = (-a)^{2m} = ((-a)^2)^m = (a^2)^m \) 

Gucken wir uns nun die ursprüngliche Gleichung an

\( f(x) = f(x_0) + \frac {(x-x_0)^n} {n!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) \)

\( \forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta ) \) gilt nun \( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0) > 0 \), \( (x-x_0)^n \geq 0 \) und \( n! > 0 \). Damit ist auch

\( \frac {(x-x_0)^n} {n!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) = c \geq 0 \\ \Rightarrow f(x) = f(x_0) + c \\ \Rightarrow f(x) \geq f(x_0) \)

Sogar \( f(x) > f(x_0) \) , \( \forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta)\backslash \{x_0\} \)

Wir haben also einen Tiefpunkt. 

(Hätten wir hier am Anfang \( f^{(n)}(x_0) < 0 \) gewählt, hätten wir hier am Ende \( f(x_0) > f(x) \) erhalten, also den Beweis für einen Hochpunkt)

Nun zum zweiten Fall:

Wenn \( n \) ungerade ist, betrachten wir die Ableitung von \( f(x) \), also \( f'(x) \). Das machen wir, da wir dann im Restglied ein gerades \( n-1 \) betrachten. 

Wir erhalten wieder durch die \( f^{(k)}(x_0) = 0 \) mit \( k = 1,2,3,\ldots, n-1 \) einen ähnlichen Ausdruck

\(  f'(x) =  \frac {(x-x_0)^{n-1}} {(n-1)!} f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0)) \)

Wir gucken uns nun von der rechten Seite der Gleichung jeden Faktor an. 

\( (x-x_0)^{n-1} \geq 0 \) , da \( n-1 \) gerade ist. 

\( (n-1)! > 0 \) 

\( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0) > 0 \) 

(Hätten wir den Fall \( f^{(n)}(x_0) < 0 \) hätten wir hier \( f^{(n)}(x_0 + \vartheta (x-x_0) \leq 0 \))

Das führt uns dazu das \( f'(x) \geq 0 \) ist. Das wiederrum bedeutet aber das wir an dieser Stelle einen Sattelpunkt haben. 

Ich hoffe es ist jetzt verständlicher. Ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Wochen, 1 Tag
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden