Maximal und Minimalstelle berechnen


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Ich bräuchte eure Hilfe ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe die Minimal und Maximalstellen  berechne. 

Funktion:

\(x*{ e }^{ -x }\)

 

Ich habe es versucht nur sieht die erste und zweite Ableitung sehr komisch aus. Außerdem wüsste ich nicht wie ich mit den Buchstaben Min und Max berechnen soll.

 

Mein Versuch:

 

\(u'(x) = 1\)

\(v'(x) = -{ e }^{ -x }\)

 

erste Ableitung

\(f'(x)=1*{ e }^{ -x }+x*-{ e }^{ -x}\)

\(f'=(x) { e }^{ -x }-x{ e }^{ -x }\)

 

zweite Ableitung

\(f''(x)=-{ e }^{ -x }-(-x{ e }^{ -x })\)

\(f''(x)=-{ e }^{ -x }+x{ e }^{ -x }\)

 

 

gefragt vor 4 Wochen, 1 Tag
i
irukandji,
Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Die erste Ableitung sieht doch gut aus, man könnte sie noch zu \(f'(x) = -e^{-x}(x-1) = e^{-x}(-x+1)\) zusammenfassen.

Dann hast du dich irgendwo vertan.

\(\begin{equation}\begin{split}
f''(x) &= [e^{-x}]' \cdot (-x+1) + [-x+1]' \cdot e^{-x} \\
&= -e^{-x} (-x+1) + (-1) \cdot e^{-x} \\
&= e^{-x} (x-2)\end{split}\end{equation}\)

Notwendige Bedingung: 

\(f'(x) \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow \text{Satz vom Nullprodukt}\)

\(e^{-x} = 0 \Rightarrow L= \varnothing \\
\vee\\
(-x+1) = 0 \Rightarrow x=1\)

Einsetzen in die 2. Ableitung liefert: 

\(f''(1) = e^{-1} (1-2) = \dfrac{-1}{e} < 0\)

Somit liegt an der Stelle \(x=1\) ein lokales Maximum vor.

geantwortet vor 4 Wochen, 1 Tag
m
maccheroni_konstante, verified
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