Die Exponentialfunktion - Näherung mit Pi?


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Sicher ist den meisten hier bekannt, dass die Exponentialfunktion als

`f(x)=exp(x)=sum_{n=0}^{infty}x^n/(n!)`

dargestellt und berechnet (bzw. angenähert) werden kann.


Nun habe ich durch Zufall gesehen, dass man für große x, `e^x` auch so annähern kann (Bild ist unten beigefügt) - Vgl. z.B. Stirlingformel..

`g(x)=sqrt(k*x+1)*x^x/(x!)`

Es ist natürlich (wenn man einfach ein wenig herumprobiert und sich dann irgendwann dem Wert nähert) super naheliegend, das `k=2pi=6.2831853071796...` ist - ABER ich verstehe nicht so ganz warum. Wie kommt `pi` in diese Formel hinein?

Die höchste Abweichung dieser Formel zur e-Funktion ergibt sich zu ca. 0,71% für x=1 (für x=0 ist sie 0%)  sowie unter 0,001% für x=500. Das soll nur zur groben Übesicht dienen - die absoluten Fehler sind bei Zahlen hoher Größenordnungen natürlich immer noch riesig.

Nun Frage ich mich, ob dieser Zusammenhang irgendwie logisch begründet werden kann, oder ob jemand dazu Ideen hat, wie man beweisen könnte, dass hier eine Näherungsfunktion für `e^x` vorliegt, bzw. genauer wie alle einzelnen Teile der Formel zustandekommen. Des weiteren wäre natürlich toll, wenn man an das k mit einer Berechnungsmethode herankäme, die sicherstellt, dass wirklich `2 pi` vorliegen.

Zudem lässt sich folglich ja auch die Funktion `p(x)=x^x` als h: `e^x/(sqrt(2pi*x+1))*x!` nähern.

Wenn jemand dazu Literatur empfehlen kann, wäre ich natürlich dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

Valentin Tempel

 

gefragt vor 4 Wochen
vt5, verified
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1 Antwort
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Annäherungsformeln heißen in kompliziert asymptotische Darstellungen/Entwicklungen. An Literatur gibt es dort den Klassiker von Lothar Berg. Die Stirling Formel wird aber in nahezu jedem Lehrbuch der Analysis behandelt.

Im Komplexen ist \( e^x \) periodisch, so dass das Auftauchen von \( 2\pi \) nicht unbedingt ein Wunder ist.

Das angegebene \( g(x) = \sqrt{2\pi x +1}\cdot\frac{x^x}{x!} \) ist eine kleine Verbiegung ( \( 2\pi+\frac{1}{x} \) statt \(2\pi\) ) und Umformung der Stirlingformel. Zu "sehen", dass \( g(x) \approx e^x \) ist nicht genug (für die Mathematik nicht; Erfreuen darf man sich natürlich daran). Das muss schon vernünftig abgeschätzt werden.

Während die Stirlingformel normalerweise über die Sattelpunktmethode von Laplace hergeleitet wird, zeigen direkte Beweise unter anderem, dass die Folge

$$ a_n = \frac{n!}{(\frac{n}{e})^n\cdot\sqrt{n}} $$

gegen \( \sqrt{2\pi} \) konvergiert. Da kommt denn auch das \( 2\pi \) her. Der Konvergenzbeweis verwendet normalerweise das Wallis-Produkt, was wiederum auf die Produktdarstellung von \( \sin(\frac{\pi}{2}) \) zurückgeführt wird.

Um Abschätzungen für \( g(x) \) zu finden, könnte man sich also die Standardbeweise anschauen und gucken, ob man die anpassen kann.

Ob dann \( g(x) \) eine "bessere" Approximation ist, entscheidet der Verwender. Numerisch sind \( e^x \) und \( x^x \) anders und besser gelöst und für Abschätzungen ist \(2\pi\) oft genauso gut wie \( 2\pi+\frac{1}{x} \).  

 

geantwortet vor 3 Wochen, 6 Tage
w
wrglprmft,
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Danke vielmals für die Antwort. Natürlich weiß ich auch, dass es bessere Wege zur Berechnung der Funktionen gibt, aber die von mir angegebene Lösung (mit der +1) konnte ich auf die Schnelle nicht finden, obwohl sie für mich die naheliegenste erste Überlegung war. Die Koeffizienten der Stirlingformel, sorgen zwar alle für bessere Annäherungen, aber treffen nicht den Wert 1 für x=0. Ich habe einfach einen Zusammenhang zwischen dem Polynomterm mit dem höchsten Anteil am Wert der e-Funktion mit Excel ausgewertet und eine lineare Regresssion gemacht, die (mit wenig sonstigem Aufwand) dieses Ergebnis liefert. Mir fehlen dennoch wohl so einige Grundlagen, aber ich werde bei Gelegenheit mal die vorgeschlagenen Dinge in die Hand nehmen.   -   vt5, verified kommentiert vor 3 Wochen, 6 Tage
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