Analysis 4


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was ist der Zsmhang zwischen holomorphe Funktionen und Taylorreihe? Und was ist der Unterschied zum Reellen?

 

gefragt vor 2 Wochen
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mathe92x,
Student, Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Hallo,

holomorphe Funktionen sind in jedem Punkt komplex differenzierbar. Die Differenzierbarkeit im Komplexen wird äquivalent zur reellen Differenzierbarkeit definiert, allerdings sind die komplexen Zahlen ein zweidimensionaler reeller Vektorraum. So kann man die Funktion immer auch auf totale Differenzierbarkeit prüfen, die tatsächlich aus der "normalen" komplexen Differenzierbarkeit folgt. 

Aber ich denke die wichtigste Eigenschaft für deine Frage ist, das eine einmal komplex differenzierbare Funktion beliebig oft differenzierbar ist. 
Also kann jede komplex differenzierbare Funktion auch in eine komplexe Potenzreihe entwickeln (Taylorreihe).

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Vielen lieben Dank! Könntest du auch kurz sagen wofür man Funktionentheorie braucht?
Kann ich da sagen, weil vieles in ana 1/2 also im reellen nicht möglich ist erweitern wir unseren Raum ins komplexe?
  -   mathe92x, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Hmm das ist eine gute Frage. Ich habe mich leider selbst noch nicht sonderlich viel mit Funktionentheorie auseinandergesetzt.
Im Großen und Ganzen ließt man häufig das durch der Erweiterung ins komplexe bestimmte Eigenschaften ans Licht kommen die im reellen verborgen bleiben. Beispielsweise die Euler Identität.
Ich glaube dies hat vor allem in der Quantenphysik vorteile bei der Darstellung der Wellenfunktion. In der Elektrotechnik arbeitet man auch viel mit komplexen Zahlen. Ich denke dort liefert die Funktionentheorie auch einen großen Beitrag.
Außerdem werden Methoden der Funktionentheorie genommen um bestimmte partielle Differentialgleichungen zu lösen. Ich hoffe das hilft dir weiter.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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