Fourierreihen Reihenentwicklung


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Hallo, also wir haben folgende Beweise zu erstellen:

das Beispiel a. hab ich ja noch selbst hinbekommen, jedoch stehe ich jetzt bei Beispiel b an, bzw ich komme nicht auf den Beweis, das das Null sein soll.

 

Jetzt meine Frage, habe ich a richtig beantwortet? bzw was entgeht mir bei b?

 

Danke und lg

 

gefragt vor 1 Woche, 6 Tage
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launga,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

die a) sieht soweit richtig aus. 

Bei der b) denke ich fehlt etwas. Denn \( \cos(k\omega) \) ist eine konstante Funktion, denn \( k \) und \( \omega \) sind konstante Werte. Außerdem gilt für das komplexe Skalarprodukt Linearität im zweiten Argument, also

\( <x, \lambda y > = \lambda <x,y> \)

Wir würden also für dein Skalarprodukt 

\( < 1, \cos(k \omega) > = \cos( k \omega ) <1,1> = \cos(k \omega ) \)

Was mich aber auch verwunder ist das in der Klammer vom Sinus und vom Kosinus ein Punkt nach dem \( \omega \) ist. Hat das vielleicht was zu bedeuten das mir nicht ganz klar ist?

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Hallo Christian,

das weiß ich leider auch nicht, den normalerweise hat man ja cos(kwt), wenn man nach f(t) geht.
Kann es sein das, wenn man w einsetzt, dann beim cos 0 rauskommt? Denn cos von Pi ist ja 0. Aber da wären ja noch die Periode T und das k. Also irgendwie ist mir das noch nicht ganz schlüssig.
  -   launga, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Da T nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein muss, haben wir auch nicht automatisch ein Vielfaches von \( 2\pi \). Deshalb können wir nicht allgemein sagen dass das Null wird.
Wie du schon sagst sollte dort eigentlich noch ein \( t \) im Kosinus vorkommen. Vielleicht wurde das \( t \) seltsamerweise durch einen Punkt ersetzt.
Ich würde es einmal fix durchrechnen was das Ergebnis ist.
So wie die Aufgabe dort steht, würde ich auf jeden Fall sagen ist sie nicht lösbar.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

So ja mit \( \cos(kwt) \) geht die Aufgabe wunderbar auf, Ich denke hier hat wirklich ein \( t \) gefehlt.

\( \frac 1 T \int_0^T \overline{\cos(kwt)} \mathrm{d}t = \frac 1 T \int_0^T \cos(kwt) \mathrm{d}t \) , da \( \cos(kwt) \in \mathbb{R} \)
\( \Rightarrow \frac 1 T [\frac {\sin(kwt)} {kw}]_0^T = \frac 1 {2\pi k} ( \sin(2\pi k) - \sin(0)) = 0 \)
Die andere Aufgabe läuft analog.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Wie kommst du hier auf $$\frac 1 T [\frac {\sin(kwt)} {kw}]_0^T$$ ist $$\cos(kwt)$$ nicht normal $${\sin(kwt)}]_0^T$$ integriert?
  -   launga, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Ich habe das Integral durch Substitution gelöst. Mit \( u=k \omega t \), erhalten wir \( \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = k \omega \Rightarrow \mathrm{d}t = \frac {\mathrm{d}u} {k \omega} \)
Das bedeutet wir lösen das Integral
\( \frac 1 T \int_{u(0)}^{u(T)} \frac {\cos(u)} {k \omega} \mathrm{d}u \)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Ansonsten leite zur Probe das ganze mal ab. Du musst dafür die Kettenregel nutzen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage


ich habe mir nicht alles durchgelesen, aber die fragen warum cos(kw.) da steht glaube ich beantworten zu können. Das Skalarprodukt wie oben definiert, ist für Funktionen definiert. cos(kwt) ist keine Funktion, sondern eine Zahl. Deswegen wir in der Mathematik häufig
\(cos(kw \cdot)\)geschrieben, um hervorzuheben, dass es sich um die Funktion handelt und nicht um eine Zahl. Der Punkt kann dann beim Integrieren durch die Integrationsvariable ersetzt werden.
  -   sora94, kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag
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