Induktion, Summe


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Hallo,

ich komme bei einer Induktionsaufgabe nicht weiter.

\( \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)

Für \( n_0=1 \) kommt dann 3=3 dabei heraus. Wie geht nun der Induktionsschritt?

\( \left(\sum\limits^n_{i=1} i(i+2)\right)+(n+1)(n+3)=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+9)}{6} \)

Was fange ich damit dann an? Das kann ich noch ausmultiplizieren aber am Ende vergleiche ich immer eine Summe von i mit einem Polynom mit n. Was zeigt sich dann?

 

Stephan

\( \left(\sum\limits^n_{i=1} i(i+2)\right)+(n+1)(n+3)=\dfrac{2n^3+15n^2+31n+18}{6} \)

Also ich sehe da gar nichts, also kann ich auch nichts zeigen...

 

Edith: Moment, wenn ich die n+1 Geschichte von beiden Seite abziehe.

\( \left(\sum\limits^n_{i=1} i(i+2)\right)+(n+1)(n+3)-(n^2+4n+3)=\dfrac{2n^3+15n^2+31n+18}{6} -\dfrac{6n^2+24n+18}{6}\)

\( \Rightarrow \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{2n^3+9n^2+7n}{6} \)

\( \Rightarrow \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{(n^2+n)(2n+7)}{6} \)

\( \Rightarrow \sum\limits^n_{i=1} i(i+2)=\dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)

Das ist dann wieder die Ausgangsgleichung. Ist das der Trick?

 

gefragt vor 1 Woche, 4 Tage
s
stehgold,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Das kann man so machen - üblich ist das aber nicht. Besser du setzt einfach für die Summe bis n deine zu überprüfende Formel ein (die ja bis n gilt) und zeigst dann, das beide Seiten der Gleichung äquivalent sind, die Formel also auch für n+1 gilt.

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
vt5, verified
Student, Punkte: 3365
 

Hallo,
ich verstehe da nicht was Du meinst. Außerdem soll man zeigen dass die bis n gilt, da kann ich die Annahme ja nicht im Beweis verwenden.
  -   stehgold, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ok, du hast das Prinzip der vollständigen Induktion anscheinend noch nicht verstanden.
https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion
Vergleiche mal hiermit - genau dieser Schritt, den du meinst nicht verwenden zu dürfen ist das entscheidende Mittel der vollständigen Induktion...
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ah, also einfach umgekehrt. Auf beiden Seiten addieren und dann links so umformen dass alle n zu n+1 werden. Allerdings finde ich immer noch dass das was von "am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen" hat.
Bloß weil irgendeine Gleichung mit der 1 funktioniert, heißt noch lange nicht dass das mit beliebigen n auch funktioniert. Das kann doch ein Zufallstreffer sein, selbst Primzahlen sind Vielfache von 1.
  -   stehgold, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Genau du hast es verstanden - aber die vollständige Induktion ist auf Herz und Nieren geprüft worden - du kannst deinem Lehrer oder Prof schon glauben, dass die (falls richtig angewandt) funktioniert. Außerdem zeigst du ja, dass die wahren Aussage (für n=1) bei jeder Vergrößerung von n um 1 immer wahr bleibt.
Aber mir ging es Anfangs ähnlich wie dir...
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ooops bei dem zweiten Beweis reicht meine Algebra nicht. Ich mache dafür mal eine neue Frage auf.   -   stehgold, kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage
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