Biholomorphe Funktionen finden


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Guten Tag

Ich habe gerade bei folgender Aufgabe ein bisschen Probleme. (Wieder ist das Problem einen Satz anzuwenden):

Meine Notizen:

Bei der Teilaufgabe (a) Habe ich in G die Funktion f = \(r*e^{i \varphi}\) was ja nichts anderes als z ist und bei S habe ich g = x + iy, doch was genau ist mein w, gemäss meinen Notizen? 

Ich bin froh, wenn mich diesbezügloch jemand aufklären könnte. Sofern es nicht zu viel Aufwand aufbereitet, bin ich über das Vorrechnen der ersten Schritte sehr dankbar.

Ich habe mir das skizziert : 

LG

 

Edit:

 

Meine Lösung zu b:

 

gefragt vor 1 Woche
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 

Hallo,

ich habe leider keine wirklichen Erfahrungen mit biholomorphen Funktionen, aber will es gerne versuchen mit dir durchzuarbeiten.

Ich habe mich mal etwas belesen und es scheint so als wären die Hauptwerkzeuge die Möbiustransformationen. Deshalb will ich bevor ich weiter drüber nachdenke erstmal fragen ob ihr diese schon kennt/nutzt..

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Tage, 20 Stunden

Hallo :)

Ja wir kennen die Möbiustransformationen schon. Mit denen müssen wir bei anderen Aufgaben auf diesem Blatt arbeiten.

Bei den Beispielen aus der Vorlesung hat meine Professorin aber keine Möbiustransformationen für das finden einer biholomorphen Funktion benutzt. Ich lade meine weiteren Notizen gleich hoch.

Und wie immer vielen Dank für deine Hilfe !
  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Tage, 18 Stunden

Hmm also ich habe jetzt etwas länger drüber gegrübelt aber mir wird es noch nicht ganz klar. Vielleicht kannst du mir meine Fragen klären.
Wie genau ist die Aufgabenstellung des Beispiels? Ist es eine reine Anwendung des Satzes den du in deiner Frage gepostet hast?
Gibt es eine Erklärung warum gerade \( f(z) = z^n \) gewählt wird? Vielleicht steckt die Lösung in diesem Ansatz und der Wahl \( n=3 \)?
Bei uns wäre ja die Funktion die Transformation in Eulerdarstellung. Es verändern sich ja eigentlich nur die Definitionsgrenzen.
Sicher das hier nicht doch die Möbiustransformation ihre Anwendung findet? Denn die macht ja genau sowas oder?
Obwohl vermutlich die Möbiustransformation auf diesen Sätzen aufbaut.

Noch war ich hier nicht sehr hilfreich aber ich versuche es gerne weiter ;)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Tage, 14 Stunden


Leider hat sie keine genaue Aufgabenstellung dieses Beispiels genannt, sondern wirklich nur irgendeine Funktion f(z)=znf(z)=zn f(z) = z^{n} genommen und dann gezeigt wie diese Zweige der n verschiedenden Lösungen aussehen, sodass immer eine biholomorphe Funktion vorliegt. Das einzige was sie verwendet hat. Ich glaube es ist "nur" verlangt die zwei Abbildungen zu zeichnen und anhand der Grafik dann eine biholomorphe Funktion zu finden, welche dann mit dem Umkehrsatz gezeigt werden soll, dass es für die entsprechende gefundene Funktion gilt.Ich habe noch weitere Notizen hochgeladen. Bei mir fangen die Probleme nur schon beim Ablesen der Grafiken an.

Ich habe Tipps für die Aufgabe bekommen: Denkt an die bereits in der Vorlesung behandelten Funktionen, d.h. wie bildet man einen Kreis auf ein Rechteck ab? Wie streckt man den Winkel? Denkt daran, dass auch a-priori nicht bijektive Funktionen durch die Wahl eines passenden Zweiges bijektiv gemacht werden können.


  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Tage, 19 Stunden

Also ich muss sagen das ist jetzt wirklich nur eine vage Idee, aber wenn wir auch den Ansatz \( f(z) = z^n \) wählen würden, würden wir je nach dem welche Wurzel man zieht, eine bestimmte Anzahl von Lösungen erhalten.
Wenn ich mir das Schaubild deines Beispiels angucke scheint es so, als würde pro \( k \) ein Bereich \( U_k \) angenommen werden.
Gucken wir uns das Intervall von \( G \) an, sehen wir das es \( \frac 1 3 \) des gesamten Raumes einnimmt. Das würde dann auch wieder dazu führen, das wir \( n= 3 \) wählen würden.
Würden wir das analog wie im Beispiel durchrechnen, müssten wir ja auf das selbe Ergebnis kommen (da bis jetzt ja nur andere Grenzen betrachtet wurden).
Also würde ich dann gucken für welche \( k \) wir in dem Gebiet \( G \) liegen. Eingeschränkt auf diese \( k \) müssten wir ja dann unsere Abbildung erhalten.
Was meinst du dazu?
Bin gleich leider nochmal unterwegs. Kann heute Abend es gerne mal durchrechnen und gucken ob die Lösungen irgendwie sinnig sind.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Tage, 19 Stunden

Die anderen hochgeladenen Unterlagen gucke ich mir auch später nochmal an. Aber beim überfliegen mit dem Logarithmus sieht es ja auch ähnlich aus. Durch die Einschränkung nach dem Logarithmus, erhält man dann diskrete Streifen.
Vielleicht kommen wir dem langsam auf die Schliche ;)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Tage, 19 Stunden


Ich habe mich eben nochmal informiert und aufgrund der Vorlesung darf ich die Tatsache annehmen, dass ezeze^z immer holomorph ist. Ich glaube es ist wirkich am einfachsten die Funktion in G umzuformen von \(x +iy\) zu \(re^{i \varphi}\) .Aber ich sehe noch nicht genau wie ich die Intervallsgrenzen benutzen kann um eine Lösung zu finden. (oder gibt es nur eine in dem Intervall)?Dann muss man folglich auch nicht mehr die Umkehrfunktion (ln....) berechnen, um die Bijektivität zu zeigen.(weil das wie gesagt in der VL gezeigt wurde).Ich werde auf jeden Fall weiter an den anderen zwei Beispielen arbeiten. Nächste Woche werde ich eine Musterlösung erhalten und entsprechend eine Erklärung. Das werde ich dir sicherlich auch wissen lassen, sofern der Bedarf besteht.Das Beispiel mit dem ln zeigt einfach nur (so wie ich das verstanden habe), dass es wie du eben auch schon sagtest n - verschiedene Lösungen (Zweige) vorhanden sind, je nach Winkel, welcher benutzt wird.
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Tage, 15 Stunden

@Christian
Sorry für die späte Antwort. Die Möbiustransformationen sind wirklich erst später gezeigt worden (nach den Beispielen oben). Ich habe mich auch nochmals mit Kommilitonen ausgetauscht und die haben das auch gemeint.
Die Teilaufgabe b konnte ich jetzt noch lösen, (ich glaube sie sollte auch stimmen). Die c ist noch immer eine grosse Herausforderung. Ich hab meine Lösung für b noch hochgealden.
  -   wizzlah, kommentiert vor 2 Tage, 20 Stunden

Kein Problem :) wrglprmft hat ja eine sehr hilfreiche Antwort geliefert.
Aber es wirkte auch so als wären diese Überlegungen der Grundstein für die Möbiustransformationen. Ich denke hier ist es einfach wichtig sich viele Transformationen anzugucken um ein Gefühl dafür zu bekommen wie sich die geometrischen Gebilde verändern. Die Möbiustransformationen bilden dann vermutlich elementare Transformationen, aus denen man dann solche Abbildungen basteln kann.
Der Knackpunkt ist wohl meistens die der Schritt vom "eckigen" zum "runden" oder umgekehrt. \( z^n \) ist wie es scheint ein Werkzeug das gut von Kreisen auf bestimmte Sektoren abbildet. Oder von einem Sektor auf einen anderen. Daher kommt vermutlich auch die Abbildung \( h_1 \).
Schön das man hier so nebenbei auch immer etwas lernen kann. :D und ja ein der Musterlösung bin ich auf jeden Fall interessiert :)
Deshalb denke ich aber auch das deine b) so richtig ist. :)

Bei der c) fehlt uns die positive \(x\)-Achse zum Einheitskreis. Der Einheitskreis ist das Gebiet \( G \) aus b). Also könnten wir ab da deine Abbildung aus b) nehmen.
Die große Frage ist jetzt nur wie wir die Achse mit darein bekommen. Ich denke immer darüber nach das ähnlich wie beim Kreissektor ein Teil vom Kreis fehlt. Aber da die Breite der \(x\)-Achse intefisimal ist könnte der Weg über die Wurzel schwierig werden.
Habe auch schon gedacht zuerst wieder die Inverse Cayley Abbildung zu nutzen. Dann fehlt uns aber die positive \(y\)-Achse.
Gibt es denn eine Abbildung die zwei Hälften irgendwie zusammen schiebt? :D
Vielleicht helfen dir ja meine Gedanken etwas dabei. Ich denke auch mal noch weiter drüber nach.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Tage, 17 Stunden

Bei c) kann man zunächst \(re^{i\varphi}\) auf \(re^{i\frac{\varphi}{4}}\) (für \(0\lt\varphi\lt 2\pi\)) abbilden und erhält einen Viertelkreis (ohne Rand) im 1.Quadranten. Dann kann man mit \(r\mapsto \frac{r}{1-r}\) das \(r\)-Interval \((0,1)\) auf \((0,\infty)\) aufblähen und erhält den 1.Quadranten.   -   wrglprmft, kommentiert vor 2 Tage, 17 Stunden

Vielen Dank das macht für auch Sinn!
Ich schau dann mal noch wie das von meinem Tutor vorgerechnet wird, denn ich habe als Tipp bekommen für die (c) den komplexen arcsin zu verwenden. Wahrscheinlich bin ich deshalb nicht so gut vorangekommen bei der c weil ich da die Relation nicht sehe.

Ich werde mich dann nächste Woche nochmals mit den Musterlösungen melden :)
Vielen Dank euch und noch einen angenehmen Sonntag Abend.
  -   wizzlah, kommentiert vor 2 Tage, 16 Stunden
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1 Antwort
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Für die Aufgabe a) würde ich hilfsweise die obere Halbebene

\(H:=\{re^{i\varphi}|r>0,0 \lt \varphi \lt \pi\}=\{x+iy|y \gt 0\}\)

betrachten. Wenn man dann einsieht, dass die Abbildungen:

\(h_1:G\rightarrow H;re^{i\varphi} \mapsto re^{i(\frac{3}{2}\varphi+\frac{\pi}{2})}\\
h_2:H\rightarrow S;x+iy \mapsto x+i(\frac{2\pi}{1+y})\)

biholomorph sind, hat man mit \(h:=h_2\circ h_1\) eine biholomorphe Funktion von \(G\) nach \(S\).

 

geantwortet vor 4 Tage, 17 Stunden
w
wrglprmft,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 265
 
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