Stetigkeit berechnen


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Hallo,

hänge gerade bei dem Thema Stetigkeit und wie diese zu berechnen ist. Wir haben folgende Aufgabe:

Begründen Sie, warum die durch

          x^a * sin(1/x)  für x>0

 f(x)=       

          0                     für x=0

gegebene Funktion für jedes a>0 stetig ist, für a=0 aber nicht.

Danke

 

gefragt vor 6 Tage, 16 Stunden
s
seifert1988,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
1

 

Für alle \(a\ge 0\) ist die Funktion

$$f:x\mapsto \Bigg\{ \begin{align}x^a\sin(\frac{1}{x})\text{ für } x\ne 0\\ 0\text{ für } x= 0\end{align} $$

in allen \(x\ne 0\) als Komposition stetiger Funktionen stetig. Es bleibt also der Fall \(x=0\) zu untersuchen.

Ist \(a=0\), so betrachte die Nullfolge \(v_n = \frac{2}{(2n+1)\pi}\) und beachte, dass \(f(0)=0\) aber \(f(v_n)=1\) und damit nicht gegen \(f(0)\) konvergiert.

Ist \(a\gt 0\) und \(u_n\) eine Nullfolge, so kann man (für von Null verschiedene Folgenglieder) abschätzen:

\(|f(u_n)|=|x^a\sin(\frac{1}{u_n})| = |x^a|\cdot |\sin(\frac{1}{u_n})| \le |{u_n}^a| \)

Wegen \(a \gt 0 \) konvergiert \(f(u_n)\) also gegen \(0=f(0)\).

 

geantwortet vor 6 Tage, 15 Stunden
w
wrglprmft,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 265
 
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