Analysis 4, residuensatz


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1/z mit Residuensatz berechnen.

 

weiss leider überhaupt nicht wie das geht.

 

gefragt vor 6 Tage, 15 Stunden
m
mathe92x,
Student, Punkte: 20
 

Frag mich grad wie du es bis Analysis 4 geschafft haben sollst. Ergebnis ist 2pi*i.
  -   gardylulz, kommentiert vor 6 Tage, 12 Stunden

Mit dem Wegintegral komm ich auf 2 pi i aber ich brauch das mit dem residuensatz!   -   mathe92x, kommentiert vor 6 Tage, 11 Stunden
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1 Antwort
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Ich halte es mal einfach, da ich sonst ewig viel schreiben müsste und jede Kleinigkeit erklären will ich nicht.

Wir machen nur einen Umlauf (ich weiß gar nicht wieso man das mehrmals machen sollte). D.h. die Formel ist

\( \int_\gamma f(z)dz = 2\pi i \sum_{z_k}Res_{z_k}(f) \)

Das heißt der Wert dieses Kurvenintegrals hängt nur von der Summe der Residuen ab. Wie man diese berechnet kommt drauf an, ob es sich um eine eine Singularität 1. Ordnung, allgemein n-ter Ordnung handelt oder ob eine wesentliche Singularität vorliegt, ob die Funktion gebrochenrational ist usw.. Eine praktische Übersicht wie man das Residuum berechnet findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)#Praktische_Berechnung

Wie du im Link sehen kannnst, gibt es verschiedene Methoden, um diese zu berechnen bzw. ist es fallabhängig.

Z.B. entspricht der -1. Term \(c_{-1} \) der Laurentreihenentwicklung um die Polstelle \( z_0 = 0 \) dem Wert des Residuums.

Eine andere Möglichkeit ist:

\( Res_{z_0}(f)=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) \)

d.h.

\( Res_{z_0=0}(f)=\lim_{z\rightarrow 0}(z)\cdot\frac{1}{z}=\lim_{z\rightarrow 0}1=1 \)

oder über

\(Res_{z_0}(f)=c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)dz \)

Wir wählen als Weg einfach einen Vollkreis mit Radius R \( \gamma(t)=Re^{it} \) mit \( t\in [0,2\pi) \)

\(Res_{z_0=0}(f)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi }f(\gamma(t))\gamma(t)'dt=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}}\cdot iRe^{it}dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}1dt = 1 \)

 

So kommst du auf das gewünschte Ergebnis von \( 2\pi i \)

 

geantwortet vor 5 Tage, 19 Stunden
g
gardylulz,
Student, Punkte: 280
 


Aber schau mal ganz hinten. Im integral bleibt dann noch i übrig. Stammfunktion wäre it. Die grenzen einsetzen und dann mit 1/2pi kürzen. Dann käme ich doch auf 1 oder?ä und nicht 2 pi i. Oder was mach i grad falsch?
  -   mathe92x, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden

Das i von der Ableitung kürzt sich mit dem i aus dem Nenner von 1/(2pi i). Hab in der Mitte das i vergessen. Sry. Habs eben ausgebessert   -   gardylulz, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden

Vielen dank für deine Zeit und ausführliche Antwort! Eine letzte Frage: aus der Berechnung bekomm ich ja 1 raus. Heisst das Ergebnis dann somit automatisch 2pi i?   -   mathe92x, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden

In der aller ersten Formel ganz oben würdest du auf der rechten Seite doch 2pi *i *Summe Res(f) = 2pi*i*1 = 2pi *i stehen haben. Hättest du mehrere unterschiedliche Polstellen gehabt, müsstest du alle ausrechnen und dann über alle summieren. Google einfach nach Residuensatz Beispiele. Da findest du genug Beispiele zum Üben.   -   gardylulz, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden

Stimmmmmmt. Vielen Dank nochmal! Ich lerne seit monaten nun auf das Examen. Mein kopf macht einfach nicht mehr mit :’(   -   mathe92x, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden
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