Symmetrische Gruppe


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Hi, hab ein kleines Verständnisproblem mit der symmetrischen Gruppe.

Wäre nett, wenn mich wer Aufklären kann, wenn ich einen Fehler mache.

Danke lg

 

gefragt vor 6 Tage, 12 Stunden
g
grammel,
Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

wie habt ihr die symmetrische Gruppe definiert? 

Man kann die symmetrische Gruppe über Bijektionen und Permutationen definieren. Ich gehe mal von Permutationen aus. Es kommt auf das selbe hinaus. 

In der symmetrischen Gruppe sind alle Permutationen von einer Menge enthalten.

\( (11) \) und \( (22) \) sind keine Permutationen. 
In der schreibweise der Permutationen, wird das erste Element mit dem zweiten, das zweite mit dem dritten usw. vertauscht. 
Man kann \( 1 \) nicht mit sich selbst tauschen. Elemente die nicht getauscht werden, werden in der Zyklenschreibweise weggelassen. 

Bei Permutationen nennen wir das was du damit aussagen wolltest direkt \( id \). 

Es bleiben also noch \( (12) \) und \( (21) \). Durch die erste Klammer wird die \( 1 \) mit der \( 2 \) getauscht. Wir haben also eine Permutation.
Durch die zweite wird die \( 2 \) mit der \( 1 \) getauscht. Wir haben also die selbe Permutation. 

Nun zur Darstellung. Es ist zu beachten, das eine Gruppe keine Menge ist. Wenn wir die symmetrische Gruppe mit zwei Elementen mit \( S_2 \) bezeichnen, schreiben wir die Gruppe als

$$ S_2(A, *) $$

Eine Gruppe ist also eine Menge mit einer Verknüpfung für die bestimmte Eigenschaften (Gruppenaxiome) gelten. Wenn wir nun die Menge der Permutationen mit \( B \) bezeichen

$$ B := \{ (id_M , (12) ) \} $$

ergibt sich die zyklische Gruppe, mit der Komposition \( ( \circ ) \) als Verknüpfung, zu

$$ S_2(B , \circ ) \\ \text{oder} \\ S_2(\{id_M , (12) \} , \circ) $$

Wenn noch etwas unklar geblieben ist oder wir das mit Bijektionen nochmal durchgehen wollen, melde dich nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Tage, 15 Stunden
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Hallo Christian, erstmal danke für dein Bemühen.

Wir haben die symmetrische Gruppe so definiert:
Sym(M) = { f | f: M --> M und f bijektiv} = die symmetrische Gruppe auf M

Ich verstehe die Definition so, dass die symmetrische Gruppe die Menge aller Kombinationspaare ist, wobei jedes Element der Definitionsmenge genau zu einem anderen Element aus der Wertemenge zugeordnet werden mussen. (=bijektiv)

Laut deiner Beschreibung lieg ich damit wohl ein bisschen falsch. Kann dir aber nur minimal folgen.

LG
  -   grammel, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden

Hallo,

hmm gut ihr habt es also auch als Menge definiert... Wie gesagt eine Gruppe ist eigentlich keine Menge, aber lassen wir das erstmal so stehen und konzentieren uns auf das aufstellen der zugehörigen Menge

Gehen wir das nochmal mit Bijektionen durch.
Wir suchen alle Abbildungen
$$ f: M \to M $$
die bijektiv sind.
Bijektiv bedeutet die Abbildung ist sowohl injektiv, als auch surjektiv.
Wenn du dir dein Schaubild anguckst, hast du die beiden gesuchten Abbildungen bereits aufgezeichnet.

Es gibt einmal die Abbildung die jedem Element sich selbst zuordnet. Das ist unsere Identitätsabbildung

$$ id: \left\{ \begin{matrix} 1 \mapsto 1 \\ 2 \mapsto 2 \end{matrix} \right. $$

Und es gibt einmal die Abbildung die beide Elemente auf das jeweils andere Element abbildet

$$ f: \left\{ \begin{matrix} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 1 \end{matrix} \right. $$

Andere Abbildungen sind keine Bijektionen mehr. Ich denke du hast auch diese Abbildungen vor Augen gehabt, aber sie mehrmals formuliert.
Die Frage ist, welche Abbildung willst du genau mit deinen Klammern beschreiben? Wofür stehen die Elemente in der Klammer?
Entweder ist es deine Zielmenge, dann wäre aber \( (1,1) \) keine Bijektion, da dann beide Elemente auf die \( 1 \) abgebildet werden. Da aber dann die \( 2 \) nicht angenommen wird, ist die Funktion nicht surjektiv. Sie ist nichtmal injektiv, da zwei verschiedene Elemente auf das selbe Element abbilden.
Das gleiche gilt für \( (2,2) \).
In diesem Kontext machen also nur die Klammern \( (1,2) \) und \( (2,1) \) eine Sinn. Dann wäre aber die erste Klammer die Identitätsabbildung und die zweite das Vertauschen der Elemente (also die \( 1 \) wird auf die \( 2 \) und die \( 2 \) auf die \(1 \) abgebildet).
Eine andere Interpretation wäre das die Klammern bedeuten, dass das erste Element des Paares auf das zweite abgebildet wird. Dann wären aber \( (1,1) \) und \( (2,2) \) zusammen die Identitätsabbildung und \( (1,2) \) und \( (2,1) \) gemeinsam das vertauschen der Elemente. Es kommen also wieder nur zwei Abbildungen heraus.
Macht es jetzt mehr Sinn für dich?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Tage, 20 Stunden
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