Lineare Algebra Basen


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wie beweist man, dass 2 basen dieselbe länge haben ?

 

 

gefragt vor 5 Tage, 22 Stunden
m
mathe92x,
Student, Punkte: 20
 
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2 Antworten
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Den Beweis führt man typischerweise mit dem Austauschsatz von Grassmann–Steinitz, der besagt, dass man eine linear unabhängige Teilmenge \(U\) in ein Erzeugendensystem \(E\) reintauschen kann, wenn man "gleichviele" Vektoren (also eine zu \(U\) gleichmächtige Teilmenge von \(E\) ) entfernt. Die so entstandene Menge ist weiterhin ein Erzeugendensystem (mit allen Vektoren aus \(U\) plus eventuell weiteren aus \(E\)).

Sind jetzt \(B_1\) und \(B_2\) Basen und ist \(B_1\) echt mächtiger als \(B_2\), tauscht man eine zu \(B_2\) gleichmächtige (echte) Teilmenge \(U\subset B_1\) mit \(B_2\) (Man tauscht also ganz \(B_2\) aus). Damit ist \(U\subset B_1\) schon ein Erzeugendensystem und somit \(B_1\) nicht linear unabhängig. Also kann \(B_1\) nicht echt mächtiger sein als \(B_2\).

Es gibt mehrere Formulierungen des Austauschsatzes (z.B. Basis statt Erzeugendensystem, dann kann man auch "andersherum" tauschen). Oft ist er auch eingeschränkt auf den endlich-dimensionalen Fall. Im nicht-endlichen Fall benötigt man das Auswahlaxiom zum Beweis des Austauschsatzes.

 

geantwortet vor 4 Tage, 23 Stunden
w
wrglprmft,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 265
 
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Hallo,

geht es um endliche oder unendliche Basen?

Bei endlichen sollte dies eigentlich kein Problem darstellen, denn du kannst sie meistens zählen. Die Anzahl der Elemente in der Basis sind dann ihre Längen.

Was ist denn genau deine Aufgabe?

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Tage, 14 Stunden
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Die frage kam so im examen. Beweise, dass 2 basen dieselbe länge haben..   -   mathe92x, kommentiert vor 5 Tage, 13 Stunden
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