Singularitäten bestimmen (Laurent), Polordnung, Taylorentwicklungen


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Guten Abend

Ich habe bei folgender Aufgabe ein paar Fragen : 

Um Singularitäten bestimmen zu können ist es wichtig Funktionen als Taylorentwicklungen angeben zu können und dabei an die Laurentreihe zu denken.

Die Polordnung ist so weit ich das verstanden habe nichts anderes, als die Vielfachheit der Nullstelle. Also bei der Funktion \(\frac{cos(z)-1}{ln(1+z^3)} \) nimmt der Nenner für z = 0 (so wie in der Aufgabe gegeben) 0 an. 

Ich habe bereits alle Lösungen irgendwie lösen können, bin mir aber nicht sicher, ob das überall stimmt. Vor allem bei der vierten Funktion bin ich mir recht unsicher. 

Die Taylorentwicklungen muss ich nicht selbst herleiten, ich habe sie einfach mit Wolfram berechnet. Für \(\sqrt{(1+z^2)}\) hat mir Wolfram im Zähler sowas (für die Reihenentwicklung) ausgewertet : \((\frac{1}{2})_k \), was bedeutet das?

Hier meine Lösungen:

Wie immer bedanke ich mich bereits für eure Hilfe :-)

 

LG

Wizz

 

Edit: Neue Lösung

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
w
wizzlah,
Student, Punkte: 226
 

Hallo,

musst du für die Bestimmung der Art der Singularitäten nicht die Laurent Reihe der kompletten Funktion bestimmen, anstatt nur von der Nennerfunktion?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Hallo Christian

Das habe ich mich ehrlich gesagt auch gefragt, aber dann habe ich mich mal im Internet umgeschaut und gelesen, dass bei rationalen Funktionen immer nur der Nenner eine isolierte Singularität haben kann.

Ich weiss gerade nicht, ob das Einfügen von Links erlaubt ist, aber wenn ja dann könnte ich dir die entsprechende Quelle schicken.
Es handelt sich dabei um ein Skript (Singularitäten) von der Uni in Hamburg.
  -   wizzlah, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Hallo,

ja das ist erlaubt. Kannst du gerne machen. Dann gucke ich mir das mal an.
Aber ich könnte mir auch vorstellen, dass sich der Satz darauf bezieht, das die Singularitäten durch die Nullstellen des Nenners entstehen.
Ich meine wenn der negative Teil einer Laurent Reihe wegfällt, bedeutet das, das der Zähler diese Nullstellen "kompensieren" kann. Deshalb weißt das auf hebbare Singularitäten hin usw.
Aber schick mir mal den Link. Ich lese es mir gerne einmal durch :)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage

Ich habe das nochmals durchgelesen und festgestellt, dass das nur bei Polynomen gilt. Da cos(z-1) kein Polynom ist kann da sehr wohl eine isolierte Singularität vorliegen.
Nun habe ich ein anderes Resultat erhalten. Ich poste das mal oben rein.

Der Link: https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl10.pdf
  -   wizzlah, kommentiert vor 1 Woche, 2 Tage
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1 Antwort
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Hallo,


jetzt sieht es für mich richtig aus :)


Haben die anderen auch geklappt?


Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16628
 

Jop bei den anderen bin ich zumindest auch zu einer Lösung gekommen. Ob es dann richtig ist , werde ich dann noch sehen :-).

Wenn du möchtest kann ich dir ja meine restlichen Lösungen noch zeigen.

LG
  -   wizzlah, kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag

Ich gucke gerne nochmal drüber und gebe dir meine Einschätzung.
Außerdem fände ich es auch sehr interessant. Ich lerne die ganze Zeit etwas mit durch deine Fragen.
Funktionentheorie ist doch sehr spannend. Werde ich mich in Zukunft auf jeden Fall auch nochmal intensiver mit auseinandersetzen. :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag

Das ist super ich finde es nämlich auch sehr interessant ansonsten hätte ich die Vorlesung ja nicht belegt. :-)
Ich habe gerade noch mitbekommen, dass ich bei der ersten Aufgabe noch vergessen habe (bei der letzten Gleichung) einen Indexshift zu machen, da ich ja den Summanden des Hauptteils aus der Summe herausgenommen hatte.

Die restlichen Lösungen sind immer noch gleich (siehe Frage), da war ich mir eigentlich sicher, dass diese korrekt sind, sofern mir keine Flüchtigkeitsfehler unterlaufen sind. ;-)
  -   wizzlah, kommentiert vor 1 Woche

Absolut verständlich :D
Ja das macht natürlich Sinn.

Was mir gerade noch auffällt. In deinem Skript stand, das ein Pol eine Ordnung hat. Du schreibst auch bei wesentlichen und hebbaren Singularitäten eine Polordnung hin. Ich würde sagen, das diese Fälle keine Polordnung haben oder?
nochmal zur i) müsste es nicht auch
$$ \ln(1+z^3) = \sum\limits_{n=0} \frac {(-1)^n z^{3n}} n $$
sein?
Wenn ich es richtig sehe, ist es sogar nach dem letzten Gleichheitszeichen richtig aber davor müsstest du es noch einmal korrigieren.
ii) sieht bis auf der Teil mit der Polordnung für mich richtig aus
iii) hier würde ich sagen, liegt ein Pol vor:
$$ arcsin(z^2) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2}} {2n+1} $$
Wenn wir diesen Ausdruck nun durch \( z^5 \) teilen, erhalten wir
$$ \frac {arcsin(z^2)} {z^5} = \frac 1 {z^5} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2}} {2n+1} \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n+2-5}} {2n+1} \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n-3}} {2n+1} $$
Für \( n=0 \) erhalten wir somit aber den Ausdruck
$$ \frac 1 {z^3} $$
erst ab \( n=1 \) erhalten wir
$$ \frac {z} 6 $$
Also haben wir einen Summanden der negativ ist und somit ein Pol oder?
Wir können die obige Reihe auch umschreiben
$$ \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(2n-1)!!} {(2n)!!} \cdot \frac {z^{4n-3}} {2n+1} = \sum\limits_{n=-1}^{\infty} \frac {(2n+1)!!} {(2n+2)!!} \cdot \frac {z^{4n+1}} {2n+3} $$
Jetzt sehen wir am Index der Reihe sofort, das wir einen Koeffizienten mit \( n<0 \) haben.
Also haben wir einen Pol erster Ordnung. Was meint du dazu?
iv) Hier sieht für mich wieder alles richtig aus, ich würde den Ausdruck vielleicht trotzdem einmal durch \( z^2 \) teilen, damit dort steht, das wir keinen negativen Exponenten von \( z \) haben.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Bezüglich der Polordnung bin ich mir jetzt mit deiner Erkenntnis wirklich nicht mehr ganz sicher. Intuitiv würde ich sagen, dass du da recht hast. Ich glaube ich habe das mit der Nullstellen Ordnung verwechselt, welche ebenfalls in meinem Skript steht. Das muss ich nochmals nachprüfen!

Bei der i) stimme ich dir zu da habe ich noch einen Fehler drin.

Bei der ii) hast du auch recht, wenn ich mich da vertan habe.

Bei der iii) Auch hier bin ich deiner Meinung. Da habe ich \(\frac{1}{z^5}\) vergessen. Ordnung 1 stimmt für mich auch.

iv) Danke für den Tipp!

Am Donnerstag bekomme ich das Blatt mit der Korrektur zurück ich werde das dann noch abklären mit der Polordnung,,aber ich denke du wirst schon recht haben.
  -   wizzlah, kommentiert vor 1 Woche

Hab nochmal etwas im Internet gestöbert und finde den Begriff Polordnung nur in Bezug auf eine Polstelle. Sehr gerne. Berichte gerne wie es gelaufen ist :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche
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