Injektives Körpermorphismus beweisen


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Hallo, 

ich erledige gerade meine Hausaufgaben für die Uni, aber ich habe ein Problem. Und zwar weiß ich nicht genau wie ich zeigen und beweisen soll das ein Körpermorphismus injektiv ist. Die Definitionen und den Therie Teil verstehe ich, aber sobald eine Aufgabe kommt, kann ich es nicht anwenden.

Hat einer eine Idee wie ich beweisen kann das ein Körpermorphismus injektiv ist.

 

Vielen Dank für eure Hilfe

Katha

 

gefragt vor 1 Woche, 4 Tage
k
katha4582,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Sind \(K,L\) Körper und \(\varphi:K\rightarrow L\) ein Körperhomomorphismus, so gilt für alle \(k\in K\), dass wenn \(\varphi(k)=0\), dann ist \(k=0\). Wäre nämlich \(k \ne 0\), so wäre


\(1 = \varphi(1) = \varphi(k\cdot k^{-1}) = \varphi(k)\cdot\varphi(k^{-1}) = 0\cdot \varphi(k^{-1}) = 0\).


Dabei hat man benutzt, dass für alle \(l\in L\) gilt:


\( 0 = 0l-0l=(0+0)l-0l=0l+0l-0l=0l+0=0l\)


Sind nun \(p,q\in K\) mit \(\varphi(p) = \varphi(q)\) so ist für die injektivität zu zeigen, dass \(p=q\). Es ist


\(0=\varphi(p) - \varphi(q)=\varphi(p) + \varphi(-q)=\varphi(p-q)\).


Nach der Vorbetrachtung also \(p-q=0\) und daher \(p=q\). Dabei hat man benutzt, dass für alle \(k\in K\) gilt:


\(\varphi(-k)=\varphi(-k)+\varphi(k)-\varphi(k)=\varphi(-k+k)-\varphi(k)\\=\varphi(0)-\varphi(k)=0-\varphi(k)=-\varphi(k)\)


 

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
w
wrglprmft,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 640
 
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