Verknüpfung und abelsche Gruppe


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Moin moin,

leider komme ich bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter. Ich hoffe, das Ihr mir helfen könnte, so das ich die Aufgabe verstehe und ab dem Moment kein Problem mehr mit solchen Aufgaben habe.

 

Sei G=(0,1) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}\) das offene Einheitsintervall, das ist die Menge der reellen Zahlen s \(\subset\) \(\mathbb{R}\) mit 0 < s < 1. Zeigen Sie, dass durch

s \(\ast\) t = \(\frac {st} {1-s-t+2st}\) , s,t  \(\subseteq\) G

- eine Verknüpfung auf G definiert wird,

- bezüglich der (G,\(\ast\)) eine abelsche Gruppe ist. Geben Sie das neutrale Element sowie für beliebiges s \(\subseteq\) G dessen Inverses an.

 

gefragt vor 1 Woche, 4 Tage
a
admiral murtho,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Damit \(*\) eine Verknüpfung auf \(G\) ist, muß für alle \(s,t\in G\) auch \(s*t\in G\) sein. Dabei hilft einem, dass für \(s,t\in G\):


\(0 < st < st + (1-s)(1-t)=1-s-t+2st\)


Denn damit sind Zähler und Nenner von \(s*t\) größer Null und außerdem der Zähler kleiner als der Nenner, also \(0<s*t<1\) und damit \(s*t\in G\).


Zur Gruppe fehlt dann noch die Assoziativität, die Existenz eines neurtralen Elements, sowie die Invertierbarkeit. Abelsch heißt nichts weiter als kommutativ. Die Kommutativität ist sofort ersichtlich:


\(s*t=\frac{st}{1-s-t+2st}=\frac{ts}{1-t-s+2ts}=t*s\).


Die Assoziatovität ist reine Schreibarbeit und Bruchrechnen, zu zeigen ist \((s*t)*u=s*(t*u)\).


Ein neutrales Element findet man, indem man die Gleichung \(e*t=t\) also \(\frac{et}{1-e-t+2et}=t\) nach \(e\) löst und hoffentlich ein von \(t\) unabhängiges \(e\) findet. Von diesem zeigt man dann, dass für alle \(t\in G\):\(e*t = t\) gilt (Das ist die Finderechnung nochmal rückwärts).


Um ein zu \(s\) inverses Element zu finden löst man (mit dem gefundenen \(e\)) die Gleichung \(s*s'=e\) nach \(s'\), also \(\frac{ss'}{1-s-s'+2ss'}=e\) und rechnet dann nochmal nach, dass tatsächlich \(s*s'=e\).


Ich komme auf \(e=\frac{1}{2}\) und \(s^{-1}=1-s\).


 

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
w
wrglprmft,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 640
 
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