Grenzwertbestimmung mithilfe von Potenzreihen


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Hallo Leute,

 

wie geht man vor, wenn man den Grenzwert mit einer Potenzreihe bestimmen soll? (Siehe Bild) 

Und woher weiß man, wann ich dafür welche Formel nehmen soll bzw bis WOHIN ich gehe? 1! ? 3! ? 5! ?  (siehe Bild) 

Kann mir da jmd weiterhelfen? Ist ganz dringend und wäre sehr dankbar dafür!!!

 

Beste Grüße

 

gefragt vor 1 Jahr, 3 Monate
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miland98,
Student, Punkte: 9
 
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3 Antworten
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Hallo Christian, erstmal vielen Dank schonmal für die lange und ausführliche Erklärung! Zu deiner Frage: Ja, das Blaue ist die Lösung. Das mit Bleistift geschriebene kann man vernachlässigen hier. Dennoch bleibt meine Frage bestehen, woher ich weiß, welche Formel (siehe 2.Blatt) ich benutzen muss immer, also bis zu welchem Grad ich entwickeln muss? Hier ist eine weitere Aufgabe MIT LÖSUNGEN und DENNOCH erschließt es sich mir nicht, welche Formel ich in welchem Fall nehmen muss, wie geht man da vor? Verstehst du was ich meine? Vielen Dank für deine Hilfe! :)
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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miland98,
Student, Punkte: 9
 
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Oh ja jetzt verstehe ich was du meinst. Stand etwas auf dem Schlauch, jetzt sehe ich auch was ich anders gemacht hatte. Entwickelt wird in diesen Grenzwertbetrachtungen eigentlich so lange, bis der erste Summand ungleich 0 entsteht. Alle weiteren Summanden haben ein x mit einer höheren Potenz als dieser erste Summand und dadurch fallen diese weg, wenn x gegen 0 läuft. Das was also wirklich interessant ist, ist der erste Summand ungleich 0. Repräsentiert werden die weiteren Summanden durch das O(x^n). Das so genannte Landau Symbole für das O(x^n)=0 für x gegen 0 gilt. Ich hoffe das klärt dieses mal die Frage. Wünsche eine gute Nacht. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 
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Hallo Miland, Zuerst einmal allgemein zum Taylorpolynom. Es gilt: Bei der Taylorentwicklung erhält man zu einer Funktion ein Polynom das die gegebene Funktion in einem bestimmten Punkt (dem sogenannten Entwicklungspunkt) approximiert (sich der Funktion annähert). Je größer du dein n werden lässt, desto besser wird die Approximation. Im unendlichen Fall hat man dann sogar ein Polynom das der Funktion, um diesen Entwicklungspunkt, gleicht. Nun findet man für den Sinus und den Kosinus 2 unendliche Reihen über die Taylorentwicklung. Das sind genau die Reihen die du auf deinem zweiten Blatt hast. Die Fakultäten kommen also aus der Taylorentwicklung. Prinzipiell wird angegeben bis zu welchem Grad eine Taylorentwicklung gemacht werden soll. Daher weißt du dann wie viele Summanden du am Ende hast. Berechnet man Taylor nicht bis ins unendliche benötigt man noch eine sogenannte Restgliedabschätzung. Das ist ein Korrekturwert, da ja erst im unendlichen von einer Gleichheit ausgegangen werden kann. Meistens sind diese Restgliedabschätzungen jedoch schon ab 3-4 Grades so klein, das nicht wesentlich weiter entwickelt wird. Ich denke das in deinem ersten Bild das O(x^5) diese Restgliedabschätzung sein soll. Ist das auf dem ersten Bild dein Ansatz oder soll das schon die Musterlösung sein? Ich weiß leider nicht genau was die von dir bekannten Potenzfunktionen sind und in welchem Ausmaße ihr das bis jetzt behandelt habt. Ich muss mir die Rechnung morgen nochmal genau angucken aber mich wundert das für den Sinus 2 unterschiedliche Approximationen genommen wurden. Also einmal bis Grad 2 und einmal bis Grad 4. Ich hoffe das hilft schon mal. Grüße Christian    
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
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