Frage zu quadratischen Ungleichungen


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Hallo Zusammen,   ich habe eine Frage zu quadratischen Ungleichungen. Ich habe zwei Funktionen: f(x) = -x²+2x+0,5 und g(x) = x² + 0,5 f,g: R -> R Jetzt habe ich die Aufgaben.
  1. Für welches x ∈ R gilt f(x) < g(x)?
  2. Für welches x ∈ R gilt f(x) > g(x)?
  Mir fehlt gerade einfach nur der Ansatz oder ich stehe auf dem Schlauch. Die Schnittpunkte von beiden Graphen der Funktionen habe ich bereits berechnet, aber da komme ich gerade nicht weiter. Hoffe einer von euch kann mir weiterhelfen.   Gruß

 

gefragt vor 1 Jahr, 3 Monate
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lutz3d,
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9 Antworten
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Hier die Lösung für die 1. Die 2. geht genauso.  
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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maikaefer,
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Hallo, da hier nach Intervallen gefragt ist, also in welchem Zahlenbereichen f(x)<g(x) bzw. f(x)>g(x) gilt, muss man noch einen kleinen Zusatz bringen. Du setzt die beiden Gleichungen gleich. Also mit Gleichheitszeichen anstatt Relationszeichen (<, >). Dann berechnest du die x für die diese Gleichung gilt. Also x=0 und x=1. Jetzt bekommst du 3 Intervalle. Und zwar ]- unendlich, 0[ , ]0,1[ , ]1, unendlich[ . Dies sind offene Intervalle, da bei 0 und 1 gerade Gleichheit besteht. Jetzt nimmst du jeweils eine beliebige Zahl aus den Intervallen z.B. -1 aus dem Ersten, 0,5 aus dem Zweiten und -2 aus dem Dritten (ist jedoch beliebig). Setzt diese Zahl in deine Gleichung und guckst welches Relationszeichen stimmt. Dies zeigt dir dann welche Funktion größer ist in dem jeweiligen Intervall. Zum Beispiel mit x=-1 => -x²+2x+0,5 ? x² +0,5 => -2,5 < 1,5  . Also ist f(x) < g(x) im ersten Intervall. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
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Also ich verstehe deinen Zusatz überhaupt nicht? Mit welcher Begründung muss ich das gleichsetzen? Ich verstehe deine Ausführung. So kann man halt dann sagen "okay das erste Intervall gilt für Punkt 1, das zweite Intervall für Punkt 2 und das dritte Intervall wieder für Punkt 1". Ich kann aber auch direkt die Schlussfolgerung aus meiner Lösung ziehen, wenn f(x)<g(x) für x<0 und x>1, dann muss f(x)<g(x) für 0<x<1 gelten. Da spart man sich einfach arbeit und erhält trotzdem alle drei Intervalle. Ich sehe hier nicht warum du erst die Schnittpunkte berechnest, da die Funktionen wohldefiniert sind.
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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maikaefer,
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Hallo,

@maikaefer51:

es ist für den Fragesteller am hilfreichsten wenn man ihn auf den Lösungsweg hinführt - die Lösung direkt zu zeigen verdirbt eher die Aufgabe.

Zum eigentlichen:  Christian berechnet die Schnittpunkte um sie als Intervallgrenzen zu verwenden - analog wie wenn man Monotonie mit Hilfe der Ableitungsfunktion untersucht. Ich persönlich finde deine Methode eleganter, aber Christian s Methode ist wesentlich einfacher. Meistens fallen Ungleichungen schwerer als Gleichungen. 

Was hat denn die Wohldefiniertheit mit den Schnittpunkten zu tun?

Grüße,

h

geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2245
 
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@Wirkungsquantum Wie du an meinen bisherigen Antworten feststellen kannst, bin ich auch ein Befürworter von Lösungsansätzen statt direkt Lösungen zu geben. Zudem sollte dir aufgefallen sein, dass ich die Aufgabe nicht komplett gelöst habe. Es muss sich noch Gedanken über Punkt 2 gemacht werden. Dies hat Christian leider jedoch im späteren preisgegeben. Das war nicht ich. Mit meiner Hilfestellung bekäme man maximal die Hälfte der Punkte bei einer Klausur. Es ist wirklich nett, dass du mir erklärst was Christian gemacht hat. Das habe ich jedoch schon verstanden. Ich habe nur nicht nachvollziehen können an welcher Stelle meine Lösung unvollständig sein sollte. Beim erneuten lesen vermute ich, dass Christian sich mit dem "Zusatz" nicht auf mich bezog, sondern eine Alternativlösung präsentiert hat. Ich bin davon ausgegangen, dass er meine Lösung als unvollständig ansieht und somit sein Ansatz hätte verfolgt werden müssen. Das wäre ja nur gegangen, wenn die Funktionen nicht wohldefiniert oder gar stetig sind. Was ja offensichtlich nicht zutrifft und auch dann hätte sein Ansatz keinen sonderlichen Mehrwert. Man sollte für den Beitragsverfasser vielleicht nochmal deutlich machen, dass beide Ansätze zielführend sind. Da hat sich Christian unglücklich ausgedrückt, wenn es denn so war. Welche Methode nun einfacher ist mag sicherlich der subjektiven Wahrnehmung entsprechen, jedoch würde in einem Skript meine Version auftauchen, da es eben ja auch um Ungleichungen geht. Deswegen sollte man diese auch nachvollziehen können, besonders wenn man sich mit Ungleichungen schwer tut.
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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maikaefer,
Student, Punkte: 190
 
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Ja da muss ich mich entschuldigen. ich habe mich vermutlich nicht ganz klar ausgedrückt. Ich wollte nicht behaupten dass dein Lösungsweg falsch ist, sondern ganz allgemein aufführen und erklären wie man zu den Lösungen kommt.

Ich wollte ich noch den Zusatz der Intervalle einbringen. Dadurch das man gleichsetzt, hat man eben die direkten Intervallgrenzen, ohne sich Gedanken machen zu müssen ob x > 0 und x <1 oder es vielleicht anders herum gilt, denn 0 und 1 bekommt man als Lösung für x immer heraus nur wie die Grenzen zu nehmen sind wird daraus nicht direkt ersichtlich für jemanden der mit dem Thema noch nicht so gut klar kommt.

Wie gesagt war etwas unglücklich beschrieben.

Das Gleichheitszeichen nimmt vielen den Stress mit Ungleichungen rechnen zu müssen.

Aber die Übung mit Ungleichungen ist sicherlich nicht verkehrt, da gebe ich dir absolut recht. Deshalb ist es doch gut das beide Lösungswege hier auftauchen.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
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Hey,   erstmal danke an euch beide! Dann lag ich mit meiner Lösung doch nicht so verkehrt, konnte sie halt nur nicht richtig interpretieren bzw. wusste nicht genau was die Aussage ist.   Ich habe mittlerweile auch die offizielle Lösung vom Prof, welche ich noch nicht ganz nachvollziehen kann.   Also bei
  1. Für welches x ∈ R gilt f(x) < g(x)?
f(x) = -x2²+2x+0,5 g(x) = x² + 0,5 Stellt er nach 0 < 2x (x-1) um. Soweit ist das auch verständlich.   Jetzt schreibt er allerdings. 1. Fall x<0 und x-1<0 x<0 und x<1 => für x<0 ist f(x) < g(x) 2. Fall x  > 0 und x-1 > 0 x > 0 und x > 1 => für x > 1 ist f(x) < g(x)   Wenn ich jetzt für x eine beliebige Zahl > 1 einsetze, dann ist f(x) doch nicht kleiner als g(x) ? Zu
  1. Für welches x ∈ R gilt f(x) > g(x)?
Schreibt er nur: Analog zu 2 (> statt <)   Irgendwie werde ich da nicht schlau draus. Hoffe ihr könnt damit etwas anfangen.   Viele Grüße Lutz
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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lutz3d,
Student, Punkte: 12
 
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Ich glaube da ist entweder ein kleiner Fehler in der Abschrift der Lösung oder dein Prof muss sich irgendwo vertan haben. Wie du richtig nach geprüft hast kann dieses Ergebnis nicht stimmen. Deshalb wollte ich die Intervalle auch veranschaulichen. Durch das gleichsetzen erhälst du die Information, das es 2 Punkte gibt, in denen f(x)=g(x) gilt. Das heißt es gibt 3 Bereiche bei denen man überprüfen muss welche Relation hier zu trifft. Wenn du dir Maikäfers Lösung anguckst, siehst du ganz richtig wie er die Lösung der Ungleichung darstellt. Es gilt bei f(x)<g(x) x<0 und x>1. Dein Prof schreibt x<0 und x<1. Dies wäre jedoch dann wie du richtig erkannt hast ein Intervall der Form ]0, unendlich[ und das passt ja nicht. Ich weiß nicht ob es eine allgemeine Methode gibt das direkt abzulesen. Anscheinend ja Maikäfer hat es ja richtig gemacht. Ich denke es gibt auch Funktionen bei denen eine Lösung erscheinen kann wie bei deinem Prof (zum beispiel f(x) = x² und g(x) -x² treffen sich in Null aber  außer in 0 ist f(x) immer größer als g(x)).  Ansonsten ist die Methode mit dem gleichsetzen und dem aufstellen der Intervalle eine sichere Methode zu überprüfen welche Relationen gelten. Also um es zusammenzufassen. Meiner Meinung nach kann die Lösung deines Profs nicht stimmen. zum Fall 2: Da sich in der Rechnung ja das Relationszeichen ändert muss es sich auch in den Lösungen genau umkehren. Deshalb "Analog zu 2 (> statt <)". Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 
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Alles klar. Danke erstmal soweit :)   Ich denke mal in naher Zukunft kommen da noch einige Fragen auf euch zu :P   Großes Lob an alle, die sich hier in dem Forum aktiv beteiligen!
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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lutz3d,
Student, Punkte: 12
 
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