Partialbruchzerlegung


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Hallo zusammen,   ich habe in den YT-Videos leider keinen Hinweis gefunden, wie ich mit dieser Aufgabe weiter verfahren soll. Ich soll durch Partialbruchzerlegung lösen. Muss ich das (x^2+4) mit komplexen Zahlen irgendwie substituieren? Danke für eure Hilfe ;)

 

gefragt vor 1 Jahr, 3 Monate
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jannik49,
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5 Antworten
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Hallo, du musst nun jeden Bruch um den Nenner des anderen erweitern und die Summe wieder auf einen Bruch bringen. Du bekommst dann folgenden Bruch: Nun musst du den Zähler vereinfachen und mit deinen ursprünglichen Bruch vergleichen. Du bekommst dann 3 Gleichungen mit A, B und C. Dieses Gleichungssystem musst du dann lösen und erhälst Lösungen für A, B und C und diese musst du dann in die Gleichung einsetzen die du oben schon stehen hast, Ich habe mir die Lösung mal angeguckt. Das Integral das dann daraus resultiert wirst du durch richtiges kürzen lösen können. Außerdem um den Lehrer etwas raushängen lassen zu können und damit dir dafür kein Punkt in der Klausur abgezogen wird. Wenn du ein "=" zwischen deine Terme oben setzt, dann musst du auch das Integral mitnehmen. Also auch auf die rechte Seite deiner Gleichung schreiben. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 
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Alles klar, so weit habe ich es eben auch noch geschafft. Das Problem liegt bei mir tatsächlich gerade beim Gleichungssystem. Die Folgenden drei Gleichungen habe ich aufgestellt. Als Nullstelle habe ich allerdings nur 2, da x^2+4 ja leider keine Ns liefert, richtig? Ich stehe gerede leider total auf dem Schlauch... Zu dem fehlenden Integral: muss ich das vor jeden der beiden Brüche schreiben oder reicht es ein Mal vorne?
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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jannik49,
Student, Punkte: 4
 
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Die Form der einzelnen Summanden sieht folgendermaßen aus:

Jetzt musst du diesen Bruch mit deinem ursprünglichen vergleichen.

Der Nenner ist gleich alslo musst du jetzt den Zähler vergleichen. Als Hinweis die erste Gleichung hat die Form A²+ B ² = 0. Ist dir klar wieso das so ist und wie die anderen aussehen?

Löst du diese LGS bekommst du wie gesagt dann die Werte für A,  B und C. Die Summe die du dann  bekommst entspricht dann deinem ursprünglichen Bruch.

Aus dem Grund habe ich auch das Integral angesprochen. Die Partialbruchzerlegung ist eine Methode einen Bruch in eine Summe von Brüchen zu zerlegen, die geringere Grade haben im Nenner und meist sogar einfachere Gestalt haben. Sie löst aber nicht! das Integral. Die Methode wird nur häufig bei Integralen genutzt da die erreichte Form häufiger leichter zu integrieren ist. Dadurch das du das Integral nach dem Gleichheitszeichen nicht mehr hast implizierst du das dies die Lösung des Integrals ist.

Deshalb meinen Tipp um einfach zu vermeiden das einem unnötig Punkte geraubt werden oder man immer das Integral oder andere Zeichen übernehmen muss, würde ich einfach solche Rechnungen als Nebenrechnung markieren. Außer natürlich die Aufgabe ist explizit "Führe eine Partialbruchzerlegung durch".

Ich hoffe die Aussage hat nicht zu sehr für Verwirrung gestiftet.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
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Hallo Christian,   das ist mir gerade irgendwie peinlich, aber nein, ich weiß nicht warum die erste Gleichung diese Form haben soll... Ich habe ein anderes Gleichungssystem aufgestellt und dort zuerst die Nullstelle 2 und dann zwei weitere beliebige (geschickt gewählte) x-Werte eingesetzt und so mein A,B und C berechnet (ein Lösungsansatz aus dem Skript den ich erst jetzt entdeckt habe).   Ist mein Ergebnis so nun richtig oder ist mir am Schluss noch ein Fehler unterlaufen?
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
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jannik49,
Student, Punkte: 4
 
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Ach peinlich muss es nicht sein. Dafür gibt es dieses Forum um solche Fragen genau zu klären. :) Tatsächlich muss ich zugeben das ich deinen Ansatz gar nicht kenne. Aber er scheint wunderbar zu funktionieren, denn du hast das richtige Ergebnis nach der Partialbruchzerlegung. Ich zeige dir noch einmal kurz meinen Ansatz. Die linke Seite der Gleichung entsteht ja durch addieren und vereinfachen der beiden Brüche die du auch schon als Ansatz hattest. Aus dieser Gleichung bekommen wir die 3 Gleichungen, indem wir die Vorfaktoren vergleichen. Also den Wert vor dem x² dem x und dem ohne x. Wir haben in unserem ursprünglichen Bruch kein x² im Zähler und keinen konstanten Summanden. Also sind die Vorfaktoren gleich 0. Deshalb A+B = 0 und 4A - 2C = 0. Der Vorfaktor vor dem x ist einne 4, also -2B + C = 4. Aus diesen drei Gleichungen bekommst du die selben Ergebnisse für A, B und C heraus wie aus deinem Verfahren.   Noch einen Kommentar zu deinem Integral. Dort ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen. Es gilt folgendes: Hast du keinen linearen Term im Nenner, ist das Integral nicht mehr zwingend der Logarithmus. Das erste Integral hast du schon richtig gelöst. Beim 2ten musst du Substitution anwenden und beim 3ten gebe ich dir noch einen Hinweis, denn das ist ein Integral, das man am besten im Hinterkopf behält. Wenn du einen Bruch dieser Form hast versucht du durch Substitution auf folgenden Bruch zu kommen: Wenn noch etwas unklar ist oder sich neue Fragen aufgetan haben immer raus damit. Ich hoffe ich konnte genug Klarheit verschaffen. Grüße Christian    
geantwortet vor 1 Jahr, 3 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 
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