Differentialoperator Rot: Anschauliche Bedeutung


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Hallo, es geht mir um die Rotation eines Vektorfeldes. bzw. den Operator rot. Mir ist die physikalische Interpretation als Quellenfreiheit bzw. Wirbelfeld bekannt. Mir geht es mehr darum ob eine anschauliche Erklärung gibt wie die Formel zu Stande kommt? Bzw. eine anschauliche Bedeutung der Formel an sich? Danke im Voraus. Grüße, h

 

gefragt vor 1 Jahr, 1 Monat
wirkungsquantum,
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Hallo, mal anders herum gefragt. Die physikalische Seite ist ja eigentlich die anschauliche. :p Ganz intuitiv würde ich sagen das durch den Nablaoperator die Änderung bestimmt wird. Mit Hilfe des Kreuzproduktes erhalten wir den Bezug zur Drehachse, Also haben wir die Änderung um eine Drehachse = Rotation. Im großen und ganzen ist die Rotation eine Definition, bedarf also keiner bestimmten Herleitung. Deshalb denke ich die physikalische Interpretation ist die beste um zu verstehen was sich dahinter verbirgt, Ich glaube das die Idee durch konservative Kraftfelder entstand, da diese keine Rotation aufweisen. Kann aber eine Ableitung aus der Definition(Theorie) der Rotation sein. Bin mir da nicht sicher. Ich hoffe ich konnte etwas helfen. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
christian strack, verified
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Hallo, danke erstmal für die Antwort. Sorry das ich so spät antworte, kam leider nicht dazu. Herleitung war ungeschückt ausgedrückt von mir, meinte wie die Formel an sich einzusehen wäre. Das mit der Drehachse klingt interessant - wie meinst du denn genau Änderung um eine Drehachse? Hm also rein vom Namen her erinnere ich mich gerade das das aus der Hydrodynamik kam. Dort wurde die Winkelgeschwindigkeit von Wirbeln (Wasserwirbel z.B.) als Rot definiert (bzw. ergab sich das rechnerisch). Grüße, h
geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
wirkungsquantum,
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Hallo,

ah ok ich hatte versucht es auf rein mathematischer Basis zu erklären und das ist eben nicht so leicht, da die Rotation eher physikalische nutzen hat.

Da erinnerst du dich genau richtig.

Die Rotation ist nur in 3D definiert (durch das Kreuzprodukt) deshalb ist es am einfachsten, wenn man sich das ganze vorstellt.

Ganz allgemein erhälst du durch den Differentialoperator "Rot" aus einem Vektorfeld ein neues Vektorfeld.

Dieses neue Vektorfeld befindet sich nur in einer Ebene. Dieser Differentialoperator kann uns also keine Auskunft darüber geben ob sich die Rotation beispielsweise nach unten (wie auf einer Helix) bewegt. Dafür hätten wir die Divergenz.

Wenn wir uns jetzt an den Normalenvektor einer Ebene erinnern entstand dieser auch durch das Kreuzprodukt. Dieser Normalenvektor ist hier unsere Drehachse. Denn diese steht ebenfalls senkrecht auf unserem neuen Vektorfeld.

Jetzt haben wir hier aber kein normales Kreuzprodukt vorliegen, da wir ja nicht direkt 2 Vektoren haben, sondern der eine Vektor der Nablaoperator ist. Deshalb haben wir hier nicht direkt die Berechnung der Drehachse, sondern eher die Änderung ( Betragsmäßig).

Kommen wir wieder zurück zum normalen Kreuzprodukt, so hatte die Länge des Normalenvektors etwas mit dem Maß der Fläche zu tun.

Ändert sich also der Normalenvektor, ändert sich also auch das Maß der Fläche.

Wir bekommen schlussfolgernd also heraus das wir durch den Differentialoperator "Rot" eine Änderung der Fläche haben, bezogen auf eine Drehachse. Und das ist eben genau eine Rotation.

Um auf deine Winkelgeschwindigkeit einzugehen: Die Änderung einer Strecke ist eine Geschwindigkeit. Dadurch das wir das Maß der Änderung der Ebene um die Drehachse berechnen, erhalten wir wie schnell sich die Fläche dreht. Also die Winkelgeschwindigkeit.

Rotationsbewegungen sind immer am leichtesten vorstellbar, anhand von Translationen (fand ich zumindest immer).

Abschließend will ich noch ein kleines Beispiel nennen.

Betrachten wir ein Waschbecken. Wasser fließt aus dem Wasserhahn (positive Divergenz). Wir sammeln das Wasser im Waschbecken und ziehen dann den Stöpsel. Das Wasser fließt mit einer Wirbelbewegung ab. Wie viel Wasser pro Zeitintervall im Abguss  verschwindet ist die negative Divergenz.
Die Rotation in diesem Fall gibt uns also nur Auskunft darüber wie stark der Wirbel ist, der dabei ensteht (also die Drehgeschwindigkeit).

Dieses Beispiel zeigt auch, das Rotation keine Aussage über Quellenfreiheit machen kann. Das kann die Divergenz. Rotation und Divergenz schließen sich also nicht gegenseitig aus.

Ich hoffe ich konnte etwas Klarheit verschaffen ansonsten frag nochmal nach. Und entschuldige das ich so spät gesehen habe, das du nochmal geantwortet hattest.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
christian strack, verified
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