Eigenschaften von Funktionen


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Hallo! In meiner Aufgabe geht es darum, die Funktion f auf lokale Extremstellen zu untersuchen. Dabei sollen wir als hinreichende Kriterium das f"-Kriterum (2. Ableitung) verwenden. Ich verstehe es jedoch nicht bei den Funktionen a) f(x)=1/3ax^3 - a^3x, a > 0 b) f(x)=sin x, 0 kleiner/gleich x kleiner/gleich 2 pi Vielen Dank schonmal !

 

gefragt vor 1 Jahr, 1 Monat
s
stamm,
Schüler, Punkte: 14
 
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1 Antwort
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Hallo,

zu a) Du musst bei Funktionsscharen eigentlich genau so vorgehen wie bei "normalen" Funktionen.

Die möglichen Extremstellen hast du berechnet? Also f'(x)=0?

Ich bekomme dafür x=±a  heraus.

Diese musst du nun in deine 2te Ableitung einsetzen.

f''(x) = 2ax
=> f''(a) = 2*a*a = 2a²

Dieser Ausdruck ist  immer positiv durch das a², also ein Tiefpunkt.

Wie sieht es jetzt mit f''(-a) aus?

zu b) Die Forderung sagt eigentlich nur aus das du die Extrema nur in einer Periode berechnen sollst, Sin(x) ist 2π-periodisch. Also nach 2π wiederholen sich alle Werte.

Nun gehst du auch wieder gleich vor.

f'(x)= cos(x)

Wann wird der Kosinus 0? Du solltest für den Kosinus 2 Nullstellen herausbekommen in deinem Definitionsbereich.

Diese Ergebnisse setzt du dann in deine 2te Ableitung ein.

f''(x) = -sin(x)

Ist der Wert größer Null haben wir einen Tiefpunkt ist er kleiner Null ein Hochpunkt. 

Um es zusammen zu fassen. Du berechnest wie gewohnt f'(x) um mögliche "Kandidaten" für deine Extrema zu erhalten und setzt diese dann in die 2te Ableitung f''(x) um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt und wenn ja welcher Art.

Ich hoffe ich konnte alles klären ansonsten frag nochmal nach.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 
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