Basis bestimmen


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Hallo Community, ich habe eine Schwierigkeit beim Verstehen vom Basis-Thema , also ich möchte wissen ,was ist der Unterschied zwischen "Basis des Urbildraumes" und "Basis des Bildraumes" und wie komme ich auf beide Basen ,wenn ich z.B. so eine Matrix habe Ich freue mich sehr auf eine Antwort . Danke im Voraus . Gruß  Khattab

 

gefragt vor 1 Jahr, 1 Monat
k
khattab,
Student, Punkte: 6
 
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1 Antwort
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Hallo,

das Bild einer Funktion ist die Menge aller Werte die von der Funktion angenommen werden. Das Urbild hingegen ist die Menge die durch die Funktion abgebildet wird.

Das Bild ist eine Teilmenge der Zielmenge und das Urbild eine Teilmenge der Definitionsmenge.

Eine Basis ist das kleinste Erzeugendensystem einer Menge. Dies ist gegeben wenn alle Elemente des Erzeugendensystems linear unabhängig sind.

Die Basis des Bildraums ist also die Menge, mit deren Elementen du alle Elemente des Bildraums durch Linearkombination erzeugen kannst.

Die Basis des Urbildraums ist ebenso zu verstehen. Mit ihr kannst du alle Elemente des Urbildraums erzeugen.

Die Spalten einer Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren der Definitionsmenge. Also ein Erzeugendensystem des Bildraums.

Zum bestimmen der Basis müssen wir also das kleinste Erzeugendensystem finden.

Dafür transponierst du die Matrix und bringst die Matrix mittels Gaußverfahren auf Zeilenstufenform. Die einzelnen Zeilen sind dann die Basis des Bildraums.

Bei der Basis der Urbildraums bin ich mir gerade etwas unsicher. Da du von einem 3-dimensionalen Raum abbildest würde ich prüfen ob du die Standardbasis abbilden kannst. Wenn ja ist der Urbildraum der ganze ℝ3.

Das ist hier möglich und du kannst ja auch jeden 3-dimensionalen Vektor mithilfe deiner Abbildung abbilden. Also wäre die Basis des Urbildraums die Standardbasis des ℝ3

Ich werde nochmals recherchieren ob es eine andere Möglichkeit gibt die Basis des Urbildraums zu bestimmen.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Hallo Christian,

ja genau du hast recht ,wir können die Standardbasis des  ℝ annehmen ,da wir durch sie  egal welche 3-dimensionalen Vektor  abbilden können und damit wie du schon erwähnt hast ,wäre die Basis des Urbildraums die Standardbasis des ℝ3 . Bei der Basis der Urbildraums ist bei mir jetzt klar geworden  , ich habe wie du gesagt  hast  nachgerechnet und ich kamm auf zwei 2-dimensionalen Vektoren,also das scheint auch richtig zu sein  :) 

Vielen Dank für die umfangreiche Erklärung

Grüße Khattab  

  -   khattab, kommentiert vor 1 Jahr, 1 Monat

Sehr gerne. Freut mich zu hören :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr, 1 Monat
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