Konvergenzradius einer Potenzreihe


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Hallo, ich will den Konvergenzradius dieser Potenzreihe bestimmen. Laut Lösung soll das Quotientenkriterium verwendet werden und der Wert r=1/3 herauskommen. Allerdings habe ich bis jetzt auf keinem Weg die richtige Lösung herausbekommen. Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie man schlau umformen könnte, bzw. wie man weiter vorgeht ?

 

gefragt vor 1 Jahr
j
jannoh,
Student, Punkte: 4
 
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1 Antwort
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Hallo,

soweit ist es schon mal richtig. Jetzt musst du nur noch den Grenzwert berechnen.

\(...=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}\lim_{n \to \infty}\frac{3^n+2^n}{3^{n+1}+2^{n+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{3^n+2^n}{3^{n+1}+2^{n+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{3^{n+1}\left ( \frac{1}{3}+\left ( \frac{2}{3} \right )^n\frac{1}{3} \right )}{3^{n+1}\left ( 1+\left ( \frac{2}{3} \right )^{n+1} \right )}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{3}\frac{1+\left ( \frac{2}{3} \right )^n}{1+\left ( \frac{2}{3} \right )^{n+1}}=\frac{1}{3}\)

Der "Trick" ist, dass man den führenden Term ausklammert. 

 

Gruß,

Gauß

geantwortet vor 1 Jahr
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Danke vielmals!   -   jannoh, kommentiert vor 1 Jahr
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