Frage Trigonometrie


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Hallo Zusammen, Ich habe ein Frage bezüglich folgender Trigonometrie Aufgabe.   Bestimmen Sie: Die Menge aller Winkel α mit cos(α) = -0.5 Ich habe versucht es grafisch darzustellen, um allenfalls Klarheit zu schaffen. So bin ich auf zwei Winkel mit cos(-0.5) gekommen. Die Musterlösung ist jedoch die folgende: {120° (±1±3n);n∈\mathbb {N} }   Ich verstehe nicht inwiefern die Lösung zu verstehen ist und wäre dankbar um ein kurzes Feedback. Ich nehme an es handelt sich hier um ein grundsätzliches Verständnisproblem meinerseits. Grüsse V. 72

 

gefragt vor 1 Jahr
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vince,
Schüler, Punkte: 28
 
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2 Antworten
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Hallo,

der Kosinus ist eine periodische Funktion. Immer wenn wir den Kreis einmal entlang gegangen sind (nach 360°) sind wir wieder am Anfang und wir können den Kreis erneut abgehen.

Das heißt für den Kosinus. \( \cos (\alpha) = \cos ( \alpha + 360^{\circ}) \) .

Zusätzlich ist der Kosinus achsensymmetrisch also gilt: \( \cos(- \alpha ) = \cos ( \alpha) \).

Bei den Winkeln 120° und 240° nimmt der Kosinus den Wert -0,5 an.

Das alles zusammen heißt dass \( \cos( \alpha) =-0,5 \) gilt , wenn \( \alpha \) = 120° oder 240° oder (120°+360°=480°) oder (240°+360°= 600°) usw. Jede weitere komplette Drehung unserer ersten zwei Winkel führt wieder auf unser gewünschtes Ergebnis. Das selbe gilt für die negativen Winkel durch die Achsensymmetrie.

Jetzt zu deiner Musterlösung:

{120° (±1±3n);n∈\mathbb {N} } heißt im Prinzip genau das selbe. Gehen wir einfach mal ein paar Werte durch.

\( 120^{\circ} \cdot (\pm 1) \) (mit n=0) sollte klar sein. es kommt eben 120° und -120° heraus. Das ist genau wegen der Achsensymmetrie.

\( 120^{\circ} \cdot (\pm 4)  \) (mit n=1) sind die Werte 480° und -480° . Also unser erster Winkel inklusive einer kompletten Drehung.

Jetzt haben wir uns die Werte mit gleichem Vorzeichen in der Klammer angeguckt, also entweder beide + oder beide -.

Gucken wir uns die gemischten an kommen wir auf:

\( 120^{\circ} \cdot (\pm 2) \) (mit n = 1). Das ist genau unser zweiter Winkel 240° und -240°.

Für jedes weitere n, also n=2 oder n=3, usw erhalten wir eine weitere Drehung.

Ich hoffe ich konnte alles verständlich erklären.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 
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Lieber Christian, Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!  Habe es nun endlich begriffen und kann mir das Ganze auch viel besser vorstellen. Grüsse Vince
geantwortet vor 1 Jahr
v
vince,
Schüler, Punkte: 28
 

Gerne.

Freut mich das ich helfen konnte.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr
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