Lösung der Aufgabe zur Kombinatorik


0

 

Ich bräuchte, den zweiten Fall (geordnet und zurücklegen) für die Aufgabe a bis e

 

Danke im Voraus :) 

 

gefragt vor 1 Jahr
t
trivial1603,
Student, Punkte: 11
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0
Hallo, die Aussage geordnet kannst du hier ignorieren. Es kommt die selbe Wahrscheinlichkeit raus, wenn du zum Beispiel zuerst 2 schwarze ziehst und dann eine weiße oder erst eine schwarze dann eine weiße und dann wieder eine schwarze Kugel. Eine weiße Kugel zu ziehen hat die Wahrscheinlichkeit \( \frac {11} {26} \). Eine schwarze Kugel zu ziehen hat die Wahrscheinlichkeit \( \frac {15} {26} \). Bei a) willst du nun 5 weiße Kugeln ziehen und somit 6 schwarze, da du 11x ziehen musst. Du berechnest also: \( \frac {11^{5} \cdot 15^6} {26^{11}} \) Kommst du bei den anderen jetzt zurecht? Noch als Tipp zu d) und e) du musst den Fall mit der höchsten Wahrscheinlichkeit bestimmen, da dieser die Anforderung schon erfüllt. Grüße Christian  
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo,

da kommentiere ich mal wieder unter einem deiner Beiträge :)  

"die Aussage geordnet kannst du hier ignorieren" , würde ich an sich auch unterschreiben, aber eventuell ist es einfach aus Übungszwecken gewollt.

Wenn ich es richtig sehe, ist deine Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}\left ( "Genau\ 5\ weisse\ Kugeln" \right )=\prod_{i=1}^{5}\frac{11}{26}\ \prod_{i=1}^{6}\frac{15}{26}=\frac{11^515^6}{26^{11}}\).

Ich würde eher sagen, dass man auf 

\(\mathbb{P}\left ( "Genau\ 5\ weisse\ Kugeln" \right )=\binom{11}{5}\frac{11^5\cdot 16^6}{26^{11}}\) (sprich eine Bernoulli-Kette) kommt. (Die Möglichen Pfade um die 5 Kugeln zu ziehen müssten mit berücksichtigt werden, wenn man von einer ungeordneten Probe ausgeht.)

Bei deiner Wahrscheinlichkeit müsste es sich um die "geordnete" Ziehung handeln.

Allerdings finde ich die Aufgabe komisch gestellt, da bei einer Ziehung von 11 Kugel "genau 5 mal Weiß" keine geordnete Probe darstellt. "In den ersten 5 Ziehungen weiß, dann schwarz" wäre hier wohl präziser. 

 

Gruß,

Gauß

  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 1 Jahr

Oh ja es stimmt ich habe ganz vergessen die möglichen Pfade einzubeziehen.

Aber dann macht "geordnet" ja doch einen Sinn. Die Bernoulli Kette würde zum Einsatz kommen wenn die Pfade mit gemischten Ziehungen (zum Beispiel immer abwechselnd schwarz weiß) auch mit einbezogen werden.

Aber es gibt ja hier nur 7 mögliche Pfade, wenn 5 Weiße hintereinander gezogen werden sollen und die Schwarzen in beliebiger Reihenfolge und nur zwei Pfade wenn eine komplette Ordnung bestehen soll also erst die Weißen dann die Schwarzen bzw erst die Schwarzen und dann die Weißen oder?

Oder verhaspel ich mich gerade vollkommen?

Danke dir schon mal für die Korrektur und wie gesagt ich bin immer froh über deine wachsamen Augen :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr

https://letsrockmathe.de/fragen/members/christianteam/" rel="nofollow">@ChristianTeam

Ja genau, die Bernoulli-Kette wäre beim Ziehen mit zurücklegen und ohne Betrachtung der Ordnung. 

Aber ich sehe noch nicht wirklich denn Sinn. Wenn wir uns bspw. eine Urne mit 6 Kugeln (3 rote, 2 blaue und 1 grüne) ansehen. 

Dann wäre die Wahrscheinlichkeit zuerst rot, dann grün, dann blau zu ziehen (also wir beachten die Reihenfolge und mit zurücklegen)

\(=\frac{3\cdot1\cdot2}{6^3}=\frac{1}{36}\), richtig? Im falle, dass wir nicht die Reihenfolge beachten, müssten wir noch mit den Permutationen multiplizieren. Also \(=3!\frac{3\cdot1\cdot2}{6^3}=\frac{1}{6}\). 

Beim obigen Beispiel konnten wir ja eine eindeutige Ordnung festlegen (rot, grün, blau).

Die Aufgabe, dass man genau 5 mal weiß zieht, drückt für mich noch keinen geordneten Zustand aus. Es wird nicht klar, ob man am Anfang die 5 Kugeln ziehen soll, am Ende oder ob es sich abwechseln darf. Vielleicht sollte man es auch so verstehen, dass nur eine bestimmte Reihenfolge mit genau 5 weißen Kugeln als Gewinn zählt. Da die Wahrscheinlichkeiten ja aber alle gleich sind, berechnet man die Wkt. einfach von einer beliebigen Kombination. Wenn man das so auffasst, dann wäre die Wkt., die wir beide als erstes stehen haben die gesuchte. 

 

"Aber es gibt ja hier nur 7 mögliche Pfade, wenn 5 Weiße hintereinander gezogen werden sollen und die Schwarzen in beliebiger Reihenfolge und nur zwei Pfade wenn eine komplette Ordnung bestehen soll also erst die Weißen dann die Schwarzen bzw erst die Schwarzen und dann die Weißen oder?"

Also wenn eine komplette Ordnung existiert, bspw. 5 mal weiß, dann 6 mal schwarz gibt es nur einen einzigen Pfad. Genauso wie bei zuerst schwarz und dann weiß. Auf was für 7 Pfade kommst du? Da kann ich dir leider nicht folgen. 

"Oder verhaspel ich mich gerade vollkommen?" Habe auch gerade einen Knoten im Kopf. Sonst morgen nochmal frisch drauf gucken :)

 

Gruß,

Gauß

  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 1 Jahr

Stimme dir bei allem absolut zu.

Die Aufgabe ist wirklich sehr uneindeutig. Denke aber auch das die Uneindeutigkeit wohl daher kommt, dass sowohl (1) als auch (2) auf die Fälle a) - e) bezogen werden.

Ist schwer zu beurteilen worauf sich das "geordnet" bezieht. Würde sagen es gibt 2 Möglichkeiten.

  1. Das geordnet bezieht sich nur auf die weißen Kugeln:
    Dann wäre die Reihenfolge der Schwarzen egal und wir hätten die Möglichkeiten
    5x weiß 6x schwarz
    1x schwarz 5x weiß 5x schwarz
    2x schwarz 5x weiß 4x schwarz
    ...
    6x schwarz 5x weiß
    das wären insgesamt 7 Pfade
  2. Bezieht sich auf beide Kugelfarben:
    5x weiß 6x schwarz
    6x schwarz 5x weiß
    Ich würde ausschließen, dass es wichtig ist das zuerst die Weißen gezogen werden deshalb 2 mögliche Pfade.

Ich würde zur zweiten Möglichkeit tendieren. Also das was wir zu aller erst gesagt haben mit zwei multipliziert:

\( 2 \cdot \frac {11^5 \cdot 15^6} {26^{11}} \)

https://letsrockmathe.de/fragen/members/trivial1603/" rel="nofollow">@Trivial1603 wie habt ihr im Unterricht geordnet kennen gelernt? Vielleicht kannst du mehr dazu sagen. :)

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Jahr

Ja, das übertragen von 1) und 2) auf a)-e) ist wohl der Grund für die Uneindeutigkeit, da stimme ich dir zu. 

Achso, du betrachtest also die 5 weißen Kugeln als ein einzige und untersuchst dann die möglichen Anordnungen von  den 7 Kugeln, und kommst dann auf \(\frac{7!}{1!\cdot6!}=7\) Möglichkeiten. Alles klar. 

Wie du auch schon sagtest, halte ich deine zweite Möglichkeit für sinnvoller. Dann müssten wir, wie du auch sagtest, das ganze mit 2 multiplizieren. 

Mal sehen, was Trivial1603 dazu sagt.

 

Gruß,

Gauß

 

  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 1 Jahr
Kommentar schreiben Diese Antwort melden