Induktion einer Ungleichung mit Summe


0
Hallo zusammen,   Ich brauche Hilfe beim beweisen dieser Aussage. Induktionsanfang ist klar, aber der letzte Schritt, der endgültige Beweis scheitert bei mir... Kann mir da vielleicht jemand helfen?

 

gefragt vor 1 Jahr
i
i3ecker,
Student, Punkte: 12
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
4 Antworten
0
Hallo, poste doch einmal wie weit du gekommen bist. Dann ist es leichter zu erklären woran es liegt. Grüße Christian
geantwortet vor 1 Jahr
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0
Ich bin bei V → B: 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n+1   ≥   2√n+2  -1 Ich weiß aber absolut nicht, wie ich das weiter vereinfachen soll, um auf einen eindeutigen Beweis zu kommen... Vorausgesetzt das oben ist überhaupt richtig  
geantwortet vor 1 Jahr
i
i3ecker,
Student, Punkte: 12
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Hallo,

nutze, dass \(2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\sqrt{n+1}\) gilt. Mit dieser Ungleichung ist deine Aufgabe recht trivial.

Eventuell wird von dir erwartet, dass du die Ungleichung dann beweisen musst. Das ist aber auch nicht so schwierig.

 

Gruß,

Gauß

 

*Edit*: "Dennoch verstehe ich nicht, wieso obige Ungleichung gilt.

Könntest du erläutern, wieso das der der Fall ist?"

Gerne doch. 

\(2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\sqrt{n+1} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )\)

Nun erweitern wir und nutzen eine der Binomischen Formeln und erhalten:

\(\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )=2\ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\geq2\)

\(\Leftrightarrow \underbrace{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}_{>1}+1\geq2 \ \checkmark\).

Alles Klar?

geantwortet vor 1 Jahr
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Die Umformung ja, dennoch verstehe ich immer noch nicht, wie du von der Ausgangsgleichung auf deine Ungleichung gekommen bist.

Woher kommt das 2xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mfrac><mo>&#x2265;</mo><mn>2</mn><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo stretchy="false">&#x21D4;</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mfrac><mo>&#x2265;</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>&#x2212;</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></math>">√n?

  -   i3ecker, kommentiert vor 1 Jahr

Man guckt sich beim Induktionsschritt an, welche Ungleichung zum Ziel führen würde.

Unsere Aufgabe ist es, \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq 2\sqrt{n+1}-2\) zu beweisen.

Der Indukationsschritt könnte wie folgt aussehen:

\(\underline{n \to n+1:}\)

\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\overset{I.V}{\geq}2\sqrt{n+1}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

\(=2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\). Wenn nun also \(2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq2\sqrt{n+1}\) gilt, so erhalten wir:

\(2\sqrt{n+1}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\geq2\sqrt{n+2}-2\), was den Beweis vollenden würde.

D.h, sofern die Ungleichung gilt, ist der Beweis korrekt. Dass die Ungleichung gilt haben wir oben ja schon gezeigt.

Beantwortet das deine Frage?
  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 1 Jahr
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Vielen Dank für die Hilfe.

 

Dennoch verstehe ich nicht, wieso obige Ungleichung gilt.

Könntest du erläutern, wieso das der der Fall ist?

geantwortet vor 1 Jahr
i
i3ecker,
Student, Punkte: 12
 

Ich habe meine Antwort für dich überarbeitet.   -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 1 Jahr
Kommentar schreiben Diese Antwort melden