Hilberträume und Vektoren


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Hallo liebe Community.

Was sind Hilberträume? Ich weiß, dass ein Hilbertraum über das Skalarprodukt definiert werden kann.

Dann lautete es in meinem Skript: In einem Hilbertraum kann jede stetige Funktion als Vektor aufgefasst werden.

Wie soll denn das gehen? Heißt das etwa, dass ich Funktionen als x und y - Kompenente eines Vektors haben kann?

 

LG

 

gefragt vor 12 Monate
z
zyklonikas,
Student, Punkte: 21
 
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3 Antworten
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Hallo,

das ist nicht ganz richtig. Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist erstmal nur ein Prähilbertraum.

Wir erhalten einen Hilbertraum wenn dieser mit der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig ist.

Das heißt , dass alle Cauchy-Folgen in diesem Vektorraum konvergieren. Der Grenzwert muss natürlich auch in dem Vektorraum selbst liegen.

Nun zu den stetigen Funktionen.

Vorweck jedes Element eines Vektorraums ist in erster Linie ein Vektor. Dafür muss es keine x- und y-Komponente haben.

Zum Beispiel gibt es auch einen Polynomvektorraum, der alle Polynome bis zu einem bestimmten Grad beinhält. Dort gelten die Polynome als Vektoren.

Ich finde die Formulierung etwas seltsam, muss aber auch zugeben das ich in der Uni noch nicht mit Hilberträumen zu tun hatte. Ich könnte es mir aber folgendermaßen vorstellen:

Wir können einen Vektorraum mit stetigen Funktionen erstellen. Diesen können wir mit einem Skalarprodukt versehen zum Beispiel mit

\( <f,g> = \int_b^a f(x)g(x) dx  \)

dieses Skalarprodukt induziert eine Norm.

Da diese Funktionen stetig sind, sind auch ihre Integrale wieder stetig und somit konvergiert auch jede Funktionenfolge wieder in dem Vektorraum. (salopp gesagt) 

Dadurch wird der Vektorraum mit dem obigen Skalarprodukt zu einem Hilbertraum.

Was meinst du?

Grüße Christian

 

geantwortet vor 12 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Hallo,

"Da diese Funktionen stetig sind, sind auch ihre Integrale wieder stetig und somit konvergiert auch jede Funktionenfolge wieder in dem Vektorraum. (salopp gesagt) 

Dadurch wird der Vektorraum mit dem obigen Skalarprodukt zu einem Hilbertraum."

Der letze Teil ist nicht richtig (siehe meine Antwort unten).

Gruß,

Gauß
  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 12 Monate
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Hallo Christian. Danke für deine Antwort. In meinem Mathe Skript steht leider nicht so viel über Hilberträume (Das Skript sagt leider nichts über Cauchy-Folgen). Lediglich folgende Definition: Hilberträume sind komplexe lineare Vektorräume, in welchem jedem Paar von Elementen /a>, /b> eine komplexe Zahl zugeordnet wird, was Skalarprodukt genannt wird. Im Unterschied zum eklidischen Skalarprodukt ist es nicht kommutativ, vielmehr gilt: = *. Die Komponentendarstellung des Skalarprodukts in einer Orthonormalbasis ist dann =\sum_k (a_k)*b_k. (* soll komplex konjugiert heißen) Soweit so gut. Was ein Orthonormalsystem aus Vektoren ist weiß ich. Das die Formel oben für Vektoren gilt und dass die Formel für zwei Funktionen genauso aussieht nur statt dem Summenzeichen ein Integral, weiß ich auch. Aber wie kann ich mir das vorstellen? Spannen orthonormierte Funktionen dann ein neues Koordinatensystem auf? Danke Lg David
geantwortet vor 12 Monate
z
zyklonikas,
Student, Punkte: 21
 

Das freut mich zu hören.

Oben hattest du geschrieben:

=\sum_k (a_k)*b_k.

Ich dachte du wolltest auf Mathjax(Latex) zugreifen. Um hier im Forum Formeln darzustellen, muss man den Befehl für die Formel da hinschreiben wo bei mir "Code" steht.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 12 Monate

Leider kann man deine Formeln nicht lesen.

Du musst den Code folgendermaßen schreiben: [img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/10/Screenshot_61-2.png[/img]

Das besondere an Prähilberträumen oder Hilberträumen ist eben das Skalarprodukt. Dadurch ist es möglich in diesem Vektorraum Längen und Winkel zuzuordnen. Deshalb könntest du prinzipiell den Vektorraum auch durch ein Koordinatensystem darstellen. Aber Hilberträume können auch unendlich dimensional sein deshalb könnte das vermutlich seine Schwierigkeiten haben.

Wenn du eine endliche Basis hättest könntest du mittels Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis finden.

In der Mathematik kann man sich leider nicht alles wunderbar vorstellen.

Ich bin mir aber gerade nicht ganz sicher wie du auf die Orthonormalbasis kommst. Vielleicht wegen:

Die Komponentendarstellung des Skalarprodukts in einer Orthonormalbasis ist dann..

Hier wird von dem Standardskalarprodukt gesprochen. Dem Skalarprodukt das man bereits aus der Schulzeit kennt.

Die Summe die du hast ensteht, weil dem ganzen einer Orthonormalbasis zu Grunde liegt.

Beispielsweise haben die einzelnen x-Komponenten eines Vektors in der Komponentenschreibweise den selben Basisvektor.

Das Skalarprodukt eines normierten Vektors mit sich selbst ergibt 1.

Das Skalarprodukt zweier unterschiedlicher Basisvektoren einer Orthonormalbasis ergeben 0.

Deshalb werden nur die Produkte gleicher Komponenten aufsummiert.

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 12 Monate

Da in deiner Definition nicht auf die Vollständigkeit eingegangen wird ist es für euch eventuell nicht wichtig zwischen Hilberträumen und Prähilberträumen zu unterscheiden.

Vielleicht soll die Aussage nur andeuten, das man eben auch durch die stetigen Funktionen einen Vektorraum erzeugen kann.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 12 Monate

Das scheint wohl der Fall zu sein, dass wir keinen Unterschied zwischen Prähilbertraum und Hilbertraum machen.

Vielen Dank für deine Mühe. Es ist schon klarer geworden.

Noch eine kurze Frage: Wie ist deine Anmerkung mit dem Code zu verstehen?
  -   zyklonikas, kommentiert vor 12 Monate
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Hallo,

was ein Hilbertraum ist, hat dir Christian schon erläutert.

Jedoch ist \(C_{0}\) mit \(\langle f,g\rangle= \int_b^a f(x)g(x) dx\) kein Hilbertraum, da nicht vollständig.

Betrachte wir auf \(\left [ -1,1 \right ]\) die Folge stetiger Funktionen

\(f_{n}(t)=\left\{\begin{matrix}
0\ \ \ t\in\left [ -1,0 \right ]\\
1\ \ \ t\in\left [ \frac{1}{n},1 \right ]
\\nt\ \ \ t\in\left ( 0,\frac{1}{n} \right )
\end{matrix}\right.\)

Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, konvergiert aber gegen keine stetige Funktion.

 

Gruß,

Gauß

 

PS: Dieses Dokument könnte von Interesse sein.

geantwortet vor 12 Monate
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Das Argument sehe ich ein.

Ich hatte durch ein paar Skripte geblättert und dort diesen dann Prähilbertraum als Hilbertraum bezeichnet gefunden.

[img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/10/Screenshot_63.png[/img]

Da habe ich mich wohl auf eine falsche Quelle verlassen. Hatte wie gesagt noch nichts mit Hilberträumen zu tun und es passte gut zu dem Satz oben. Danke für die Korrektur.

Hast du den sonst eine Idee wie dieser Satz gemeint sein könnte?

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 12 Monate

"Hast du den sonst eine Idee wie dieser Satz gemeint sein könnte?"

Ich schätze mal, das hier dann auch von einem Prähilbertraum gesprochen wurde.

Allerdings reicht ja ein allgemeiner Vektorraum, um Funktionen als Vektoren zu betrachten. Diese Formulierung ist wirklich recht konfus.

 
  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 12 Monate
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