Elementare Funktionen mit gegebenen Bedingungen


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Guten Abend miteinander Ich bin gerade an einer Aufgabe dran und würde mich über freuen, wenn mich jemand korrigieren könnte. Zu meinen Ansätzen / Ideen: a) a) Der Graph muss bijektiv sein, d.h. dieser muss surjektiv und injektiv sein (min 1 y-Wert pro x-Wert; höchstens ein x Wert pro y Wert) Zudem muss der Graph streng monoton fallend sein, d.h. dass dieser konstant kleiner werden muss. Da habe ich mir überlegt, dass die Wurzelfunktion in Frage kommen könnte. Meine Lösung ist : - (wurzel(x+1)). Das Minuszeichen, damit der Graph streng monoton fällt, doch ist meine Lösung richtig? b) Durch W = (0, 1]. muss bei x=0 eine Polstelle (Definitionslücke) vorliegen.   Ich habe an e^wurzel(1/x^2) gedacht.  Ohne Grafikrechner hätte ich keine Idee hier wie ich ansonsten an die Lösung kommen könnte. Und stimmt das überhaupt? :-) c) Da die 6 Nullstellen in [0,1] liegen müssen habe ich mir einfach mal einfach eine Funktion mit 6 Nullstelle innerhalb dieses Intervalls ausgedacht wie z.B. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6). Mir ist klar, dass der Wertebereich dafür nicht passend ist aber ich komme gerade nicht weiter. Irgendwelche Anstösse? d) Durch die vorgegebene Monotonie ist für mich klar, dass es sich um eine quadratische Gleichung halten muss. Da die Definitionslücken bei -2 und 2 sind dachte ich an eine y-Achsensymmetrie, sodass der Wert b bei der Allgemeinform ax^2+bx+c  0 sein muss. Anschliessend habe ich rumprobiert und bin auf folgende Funktion gekommen: f(x) : 1/(x-2)(x+2)-0.75, da ja auch f(0) = -1 gelten muss. Ich weiss, dass sind sehr viele Fragen auf einmal, dennoch hoffe ich auf eine Rückmeldung mit entsprechenden Ansätzen / Korrekturen. Vielen Dank bereits im Voraus   Grüsse Wizzlah

 

gefragt vor 11 Monate, 4 Wochen
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7 Antworten
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Hallo,

zur a) bei dir steht die Funktion ist folgendermaßen definiert:

\( f: \mathbb{R} \to (1,1) \)

Bist du sicher dass das so richtig ist? Das offene Intervall (1 ,1) ist die leere Menge, da zwischen 1 und 1 keine Zahlen liegen und die Grenzen (1) nicht im Intervall liegen.

zu  b)

hier bin ich mir gerade noch unsicher, aber deine Funktion kann es nicht sein, da sie auf ganz \( \mathbb{R} \) definiert ist. Für x=1 erhälst du e= 2,718...

e ist also nicht im Wertebereich (0,1]. Ich überlege auch mal noch weiter über eine Funktion nach.

zu c) für die Funktion gilt:

\( f: [0,1] \to [-3,3] \)

In dem Intervall von [0,1] sollen 6 Nullstellen liegen, Bei deiner Funktion liegt leider nur eine Nullstelle in diesem Bereich, da du die Nullstellen 1,2,3,4,5 und 6 erzeugst.

Ich habe mir gedacht es ist einfacher zum Beispiel den Sinus so zu strecken/stauchen das er 6 Nullstellen in dem Intervall hat.

Der Sinus hat bereits den Wertebereich von [-1,1], um den Wertebereich auf [-3,3] zu erhöhen kann man den Sinus einfach mit 3 multiplizieren.

Jetzt muss nur noch die Periode so verkürzt werden, sodass 6 Nullstellen im Intervall [0,1] liegen. Dies gilt zum Beispiel für

\( 3 \cdot \sin(16x) \)

zu d)

Hier habe ich an dieselbe Funktion gedacht mit einer kleinen Änderung. Deine Funktion ist zuerst monoton steigend und dann monoton fallend,

Es soll jedoch genau anders herum sein. Also muss noch ein - vor die Gleichung und der Graph nochmal etwas verschoben werden. Du kommst dann auf:

\( - \frac 1 {x^2-4} - \frac 5 4 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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Hallo Christian Mir ist ein Fehler unterlaufen und zwar ist es bei Aufgabe a) nicht f: R --> (1,1), sondern R --> (-1,1);  Dann sollte es ja korrekt sein oder? Bei Aufgabe b bin ich gerade noch dran. Bei Aufgaben c und d ist es mir nun klar was ich für Fehler gemacht habe und kann deine Lösungsvorschläge nachvollziehen, vielen Dank :-) Gruss Wizz
geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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Bei Aufgabe b) habe ich nun die Funktion : e^-x^2 gefunden. Ich seh dabei gerade keine Unstimmigkeiten. Kannst du mir das Bestätigen? ^^
geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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Das Problem ist wieder das du die Funktion für ganz \( \mathbb{R} \) definiert hast aber zum Beispiel x=3 ergibt hier f(3) = -2. Dieser Wert ist wieder nicht im Intervall (-1,1)

Für die b ) bin ich auf die folgende Funktion gekommen:

\( f(x) = \left \{ \begin{matix} \frac {2e^x} {e^x+1} -1 \ x < 0 \\ \frac {-2e^x} {e^x +1} +1 \ x > 0 \end{matrix} \right. \)

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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Bei der a) ist das Problem wieder das du die Funktion für ganz \( \mathbb{R} \) definiert hast aber zum Beispiel x=3 ergibt hier f(3) = -2. Dieser Wert ist wieder nicht im Intervall (-1,1).

Die Wurzelfunktion ist außerdem nur für positive x definiert.

Für die b ) stimmt die Funktion. Ist sogar schöner als die die ich gerade gefunden hatte.

Nun nur noch die a). :p

 

geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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Für die a) habe ich noch eine Funktion gefunden: \( f(x)= - \frac x { \vert x \vert +1} \) sie nimmt nur Werte im Intervall (-1,1) an. Und müsste wenn ich mich jetzt in der schnelle nicht vertan habe auch bijektiv sein. Prüf das am besten zur Übung nochmal nach. Ansonsten mache ich das später selbst nochmal. Grüße Christian
geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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Hallo Christian Ich danke dir vielmals ich werde es mir nochmals anschauen :-) Grüsse Wizz
geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
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