Exponentialfunktion; Behauptungen beweisen / zeige


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Guten Abend Habe noch eine Frage. Die Aufgabe : Sei   |x|  <   1 (a) Zeigen Sie: e^x >= 1 + x    und        e^-x    >=    1-x   >   0 (b) Schliessen Sie nun: 1 <=  (e^x-1)/x    >=   1-x   > 0 Also ich kann b gar nicht lösen, weil ich noch bei a sehr unsicher bin, wäre aber froh wenn auch bei b geholfen werden kann im Anschluss. Bei a habe ich versucht den linken Teil mit der Ableitung zu beweisen. Sei f(x) = e^x    und   g(x) =  1 + x so ist f'(x) = e^x    und g'(x) =  1 Die Steigung ist ja bei g(x) immer 1 und bei f(x) immer e^x. Der kleinste Wert welchen ich einsetzen kann ist 0. und e^0 = 1. Für jeden grösseren Wert von x unter der Voraussetzung |x| < 1 muss die Zahl ja immer grösser werden. Reicht das für den Beweis bw. ist es überhaupt richtig so und gibt es evtl. noch elegantere Lösungsmöglichkeiten? Beim rechten Teil habe ich das auch versucht, jedoch ist das dortige g(x) = 1-x negativ, d.h. mit der Ableitung kann ich das hier nicht beweisen denke ich mal. Ich bin dankbar für jegliche Hilfe so wie immer :-) Grüsse Wizz

 

gefragt vor 7 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
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5 Antworten
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Hat sich erledigt was hier stand, hatte mich verlesen.

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
wirkungsquantum,
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Hallo,

"Der kleinste Wert welchen ich einsetzen kann ist 0", Da du \(\left | x \right |<1\) zulässt, wäre dein kleinst möglichstes \(x=-1+\epsilon\) mit \(\epsilon>0\).

"und gibt es evtl. noch elegantere Lösungsmöglichkeiten?" Es gibt immer elegantere Wege ;)

Ein schöner Weg wäre z.B die Ungleichung \(\left ( 1+y \right )^n\geq 1+ny\) zu nutzen, die \(\forall \ \mathbb{R}\ni y\geq -1\) und \(\forall \ \mathbb{N}_0\ni n\geq 0\) gilt. (Die Bernoulli-Ungleichung)

 

Zu b): Sicher, dass \(\left | x \right |<1\) angenommen wird? Denn diese Ungleichungen gelten nur für \(x\in \left ( 0,\infty \right )\).

 

Gruß,

Gauß

 

PS: Über Ableitungen kann man natürlich auch argumentieren. Betrachten wir \(f\left ( x \right )=e^x-1-x\) wobei \(x\in \left ( -1,1 \right )\).

\(f\left ( -1 \right )=\frac{1}{e}> 0\). Für die Ableitung unserer Funktion gilt:

\(f'\left ( x \right )=e^x-1=\left\{\begin{matrix}
<0 \ x\in (-1,0)\Rightarrow f(x) \ faellt\\
\geq 0 \ x\in [0,1)\Rightarrow f(x) \ steigt\\
\end{matrix}\right.\)

Und da \(f(0)=0\) ist unsere Funktion \(f(x)\geq 0\ \forall x\in(-1,1)\), woraus dann unsere gewünschte Ungleichung folgt.

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
carl-friedrich-gauss,
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Guten Morgen

Ich poste mal die Aufgabe als Bild, damit es ein weniger übersichtlicher ist (hätte ich auch schon früher machen können,sorry):

Das | x | < 1 gilt wahrscheinlich auch für die Teilaufgabe b.

Eine Frage wegen der Bernoulli-Ungleichung. Wie kann ich das denn hier anwenden? Mir ist es schon auch aufgefallen, dass eventuell die Möglichkeit besteht das machen zu können. Aber ich bin mir gerade echt nicht sicher wie :-)

Und danke für den Hinweis mit der 0. Da habe ich wohl zu wenig aufgepasst.

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
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Hallo, "Ich poste mal die Aufgabe als Bild, damit es ein weniger übersichtlicher ist" Um einiges besser :) Bei b) soll die Ungleichung zunächst für \(x>0\) gezeigt werden. Das ist mit den Ungleichungen aus a) ja dann kein Problem mehr. Für \(x<0\) gilt das dann allerdings nicht mehr. Tipp: Dreh die Ungleichheitszeichen einfach mal um.   "Eine Frage wegen der Bernoulli-Ungleichung. Wie kann ich das denn hier anwenden" Setzte einfach \(y=\frac{x}{n}\) und betrachte dann den Grenzwert.   Gruß, Gauß
geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
carl-friedrich-gauss,
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Hallo Ich habe das jetzt noch einmal probiert und wollte gerne fragen, ob das jetzt richtig ist: Bei b bin ich mir für x < 0 echt unsicher, vor allem ob ich das e^x einfach in den Nenner setzen darf. Ich habe mir einfach überlegt wenn ja x immer negativ ist, so kann man e^x ja in den Nenner packen mit dem Potzenzgesetz. Grüsse Wizz
geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
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