Funktionsschar


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Hallo Leute, nun auch mal eine Frage von mir. Es geht um Aufgabenteil "c)". Ich habe bereits die Stammfunktion für "Ga(x)" hergeleitet. Nun soll ich den Wert für "a" bestimmen, bei dem das Volumen 0,5 l beträgt. Die Herangehensweise ist mir hierbei bekannt: Ich nutze die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, setze alles ein und stelle dann nach "a" um. Aber genau hier liegt mein Problem... ich hab dann da am Ende eine sehr lange Gleichung, wo ich absolut keine Ahnung habe, wie ich an mein "a" kommen soll. Klar gibt es Internetseiten oder bestimmte Taschenrechnerfunktionen, die dann irgendwelche Werte einsetzen bis sie den richtigen gefunden haben, aber ich würde gerne wissen ob man die Gleichung auch "per Hand" nach "a" umstellen kann. Ein paar Ansätze dafür wären super! Außerdem weiß ich nicht, wie ich die Gleichung bei Aufgabenteil "d)" zu interpretieren habe. Auch hier wäre ein Ansatz super.   Liebe Grüße und vielen Dank schonmal im vorraus!

 

gefragt vor 11 Monate
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1+2=3, verified
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1 Antwort
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Hallo,

Ich habe am Ende keine schöne aber eine berechenbare Gleichung stehen.

mit \( f_a(x) = xe^{1-ax} \) und dem Wendepunkt bei \(x= \frac 2 a \) erhalte ich folgende Lösung.

\( V= \pi \cdot \int_0^{\frac 2 a} (xe^{1-ax})^2 = \pi \cdot \int_0^{\frac 2 a} x^2 e^{2(1-ax)} = \pi e^2 \cdot \int_0^{\frac 2 a} x^2e^{-2ax} \\ = \pi e^2 (e^{-4} \frac {(e^4-13)} {4a^3} )= \pi e^{-2}  \frac {(e^4-13)} {4a^3} = 0,5 \)

Das muss nun nach a umgestellt werden.

Bei der d) hast du einen Ausdruck der Form

\( \sqrt {(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}\)

Wenn du an ein Steigungsdreieck und an den Satz des Pythagoras denkst wird dir sicherlich klar, das hier eine Länge berechnet wird zwischen den Punkten
\( P(x_1/f(x_1)) und Q(x_2/f(x_2)) \). 

Die Summe dieser Wurzel bestimmt den Abstand von  \( P_1(0/f(0)) und P_4(12/f(12)) \) aber nicht auf direktem Wege sondern über die Punkte \( P_2(4/f(4)) und P_3(8/f(8)) \).

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate
christian strack, verified
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Ahhh ich hab meinen Denkfehler gefunden....

Der Ansatz bei d) klingt auch plausibel, da hätte man auch von selber drauf kommen können... Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...

 

Vielen Dank!!!
  -   1+2=3, verified kommentiert vor 11 Monate

Freut mich das ich helfen konnte :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen
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