Zweidimensionale Kreisgleichung aufstellen


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Hallo, ich soll aus den zwei Punkten P(3|4) und Q(6|1) die Kreisgleichung aufstellen. Außerdem ist gegeben, dass der Kreis die x2-Achse berühren soll... Ich weiß schon, dass der Mittelpunkt M die Koordinaten (r|x2) haben muss. r ist hierbei der Radius des Kreises... Ich hab schon viele Sachen ausprobiert... Ich hab unter anderem ein Gleichungssystem mithilfe der zwei Punkte und dem Mittelpunkt aufgestellt, aber das hat zu keinem Erfolg geführt... zeichnerisch ist es mir schon gelungen herauszufinden, dass es zwei Mittelpunkte M1(3|1) und M2(15|13) geben muss... jedoch weiß ich nicht wie ich da rechnerisch drauf kommen kann.... Ein paar Anregungen wären super... Liebe Grüße

 

gefragt vor 11 Monate
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1+2=3, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 841
 
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2 Antworten
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Hallo,

ich habe im folgenden der Übersicht halber \( x_1 = x , x_2 =y \) gewählt.

Die allgemeine Kreisgleichung lautet

\( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \)

wobei der Mittelpunkt des Kreises die Koordinaten \( M(x_0/y_0) \) hat.

Jetzt haben wir folgende Informationen

\( P(3/4) , Q(6/1) , M(r/y_0) \)

Dadurch verändert sich die Kreisgleichung zu

\( (x-r)^2+(y-y_0)^2=r^2 \)

Setzen wir die Punkte P und Q ein erhalten wir zusammengefasst

\( y_0^2 -8y_0 -6r +25 =0 \)
\( y_0^2 -2y_0 -12r +37 =0 \)

Die Differenz der Gleichungen liefert

\( -6y_0 +6r -12 =0 \ \Rightarrow y_0 = r-2 \)

Einsetzen unserer Lösung für \(y_0\) in eine der Gleichungen führt auf

\(r^2-18r+45 =0 \)

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind

\( r_1 = 3 , r_2 = 15 \)

Das führt uns auf den Mittelpunkt \( M(r/r-2) = M(3/1) \) oder \( M(r/r-2) = M(15/13) \) .

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
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Hallo Christian,

das war tatsächlich mein Ansatz, aber ich muss dann wohl während des Lösens des LGS einen Fehler gemacht haben... obwohl ich das mehrmals durchgerechnet habe....

Vielen vielen Dank!!! :)
  -   1+2=3, verified kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen

Das dachte ich mir schon als du meintest du hast Gleichungen aufgestellt. Deshalb habe ich es einfach mal vorgerechnet.

Manchmal verwirft man auf halben Weg einen Ansatz und weiß am Ende nicht wieso ;)

Freut mich das ich helfen konnte

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen
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Hallo, vielleicht hilft dir das erstmal weiter.   Gruß, Gauß
geantwortet vor 11 Monate
carl-friedrich-gauss,
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