Beweisen, dass 7^(2n) - 2^n durch 47 teilbar ist


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hi, ich soll mit vollständiger Induktion beweisen, dass 7^(2n) - 2^n für alle n (Element der natürlichen Zahlen) durch 47 teilbar ist. Folgendes weiß ich schon selbst: Induktionsanfang: für n = 1 ist 7^2 - 2^1 = 47 (ist durch 47 teilbar) Induktionsvoraussetzung: die Aussage gelte für alle n > 0. Induktionsschritt: zu zeigen ist, dass die Aussage für n + 1 gilt. So und jetzt weiß ich, das ich n + 1 einsetzen muss. Nur habe ich Probleme beim umformen und alles was danach kommt. Ich hoffe es kann mir jemand helfen und schon mal vielen Dank im voraus.

 

gefragt vor 1 Jahr
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ottilo21,
Student, Punkte: 2
 
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1 Antwort
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Hallo Ottilo,

Du hast bereits den richtigen Ansatz gewählt. Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass \(7^{2(n+1)}-2^{n+1}=7^{2n+2}-2^{n+1}\) ohne Rest durch \(47\) teilbar ist. Forme wie folgt um:

\(7^{2n+2}-2^{n+1}\) (Potenzgesetz \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\))

\(7^{2n}\cdot 7^2-2^n\cdot 2\) 

\(7^{2n}\cdot 49-2^n\cdot 2\) (Addiere \(0\) in Form von \(-2\cdot 7^{2n}+2\cdot 7^{2n}\))

\(7^{2n}\cdot 49-2\cdot 7^{2n}+2\cdot 7^{2n}-2^n\cdot 2\) (Klammere 2 aus)

\(7^{2n}\cdot 47+2\cdot (7^{2n}-2^n)\)

\(7^{2n}\cdot 47\) ist wegen des Faktors \(47\) durch \(47\) teilbar und \(7^{2n}-2^n\) ist nach Induktionsvoraussetzung durch \(47\) teilbar.

Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft! Melde Dich gerne, wenn etwas unklar sein sollte.

Gruß
André

geantwortet vor 1 Jahr
letsrockinformatik, verified
Student, Punkte: 4346
 

Top vielen Dank

darf ich dieses: addiere 0 in Form von ... bei allen Aufgaben solcher Art anwenden oder ist das ein Sonderfall?
  -   ottilo21, kommentiert vor 1 Jahr

Hey! Gerne :) Das funktioniert in fast  allen  Aufgaben diesen Typs.

  -   letsrockinformatik, verified kommentiert vor 1 Jahr
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