Inverse einer 2x2 Matrix


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Ich habe folgende Aufgabe erhalten: Zeigen Sie Ist A = (a b c d) invertierbar , so gilt (A^t)^-1= ( A^-1)^t A^t müsste ja demnach (d  c b a) sein. Auch der folgende Tipp hilft mir nicht: Die Formel für die Inverse A−1 lautet dann
1: (ad-bc) (d -b
                           -c  a)
 

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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13 Antworten
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Hallo,

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \Rightarrow A^t = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

Beim transponieren wird an der Hauptdiagonalen gespiegelt.

Hattet ihr das berechnen der Inversen über ihre Adjungte? Dort könnte der Tipp hilfreich sein. Es gilt nämlich:

\( A^{-1}=\frac 1 {detA} adj \ A = \frac 1 {ad-bc} \quad adj \ A \)

Es gilt für eine Matrix und ihr Inverses \( A \cdot A^{-1} \ = E_n \) mit \( E_n \) der Einheitsmatrix.

Deine Gleichung \(( A^t)^{-1} =( A^{-1})^t \) sagt aus, dass \( (A^{-1})^t \) das Inverse zu \( A^{t}\) ist. Das kannst du einfach nachrechnen.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Dafür muss ich dann aber ein Beispiel verwenden oder?  So Variablen machen mich verrückt :D
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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Ein Beispiel ist leider kein Beweis. Deshalb reicht das hier nicht. Du musst es hier also allgemein rechnen. Das geht aber noch für 2x2 Matrizen. Wir können das hier auch mal zusammen machen. Weißt du wie man die adjungierte berechnet?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Das wäre auch zu schön gewesen... oh das ist toll, danke! Die Adjungierte von einer 2x2 Matrix ist doch (d -b -c a). Oder?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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Ach ja jetzt erkenne ich erst dein zu letzt geschriebenes. Sorry Genau für die Inverse gilt \( \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \) Jetzt ist aber nach \( (A^{-1})^t \) gefragt, also müssen wir diese noch transponieren. Wie sieht diese Matrix dann aus?  
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Das müsste dann ( d -c (-b a) sein oder? Das 1 — ( ad-bc) bleibt?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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Genau den Vorfaktor kannst du stehen lassen und dann wird wieder an der Hauptdiagonalen gespiegelt.

\( (A^{-1})^t = \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \)

Jetzt gilt

\( M \cdot M^{-1} = M^{-1} \cdot M = E_n \)

\( \Rightarrow A^t \cdot (A^t)^{-1} = A^t \cdot  (A^{-1})^t  = E_n \)

\( \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}  = \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Das musst du jetzt noch prüfen.

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Aber wie prüfe ich das,wenn ich keine Zahlen haben? Die Einheitsmatrix  muss doch die 2x2 sein oder?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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Was ist den das Ergebnis von

\( \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a &c \\ b & d \end{pmatrix} \)

Das kannst du ja ganz allgemein rechnen. Wenn du das Produkt berechnet hast wirst du sehen warum es stimmt.

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Aber wie prüfe ich das,wenn ich keine Zahlen haben? Die Einheitsmatrix  muss doch die 2x2 sein oder?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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\( \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

\(= \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} da-cb \quad & dc-cd \quad \\ -ba+ab \quad & -bc+ad \quad \end{pmatrix} \)

\(= \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\  0 & ad-bc \end{pmatrix} = \frac {ad-bc} {ad-bc} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{pmatrix} \)

Man kann es auch mit Buchstaben rechnen. Es kommt also egal für welches a,b,c und d immer die Einheitsmatrix heraus. Damit ist die Aussage bewiesen.

Grüße Christian

Edit: Ich bekomme es gerade nicht schöner dargestellt. Ich hoffe im zweiten Schritt ist verständlich welche Terme in welchem Eintrag stehen.

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Ah, also (dxa -cxb -bxc ad) und da das der Einheitsmatrix entsprechen muss gilt d -c -b a Richtig?
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
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feli91,
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In der zweiten Matrix stehen die Einträge \( a_{11} = da-cb = ad-bc \) \( a_{12} = dc-cd =0 \) \( a_{21} = -ba+ba =0 \) \( a_{22} = -bc +ad = ad-bc \) Zieht man dann die ad-bc heraus hat man die Einheitsmatrix . Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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