Fibonacci Induktionsbeweis


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Hi, erstmal schöne Idee für dieses Board. Neben meiner Nachhilfe und Daniels Videos versuche ich es auch hier =). Und zwar soll ich induktiv beweisen, das für alle "j", die Elemente von allen natürlichen Zahlen (+0) gelten soll: \(a_{3+j} \ge (\frac {3} {2})^j \) Bei der Folge handelt es sich um die Fibonaccifolge. Induktionsanfang mit j=1 bzw. j=0 ist das ja kein Problem, aber bei j+1 wirds schwierig. Ich bedanke mich auf jeden Fall schonmal im Voraus und verbleibe mit freundlichen Grüßen   Tim

 

gefragt vor 1 Jahr
k
kenshi3212,
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7 Antworten
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Hallo,

Was ist denn \(a_{j+3}\) für eine Folge?

Grüße,

h
geantwortet vor 1 Jahr
wirkungsquantum,
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Sorry,

habe ich vergessen zu erwähnen. Soll die Fibonacci-Folge sein. ^^

 

Grüße

Tim
geantwortet vor 1 Jahr
k
kenshi3212,
Student, Punkte: 34
 

Du brauchst Dich nicht entschuldigen ... das steht ja im Titel ;)   -   letsrockinformatik, verified kommentiert vor 1 Jahr
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Hallo Keshi,

ich würde hier "von unten nach oben" vorgehen bzw. immer im Hinterkopf behalten, wo Du am Ende hin möchtest.

Es gilt mit dem Potenzgesetz: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{j+1}=\left(\frac{3}{2}\right)^j\cdot \frac{3}{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^j+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^j\).

Beginnen wir also den Induktionsbeweis:

\(a_{(j+1)+3}=a_{j+4}\)

Da \(a\) die Fibonacci-Folge ist, gilt:

\(=a_{j+2}+a_{j+3}\)

Nach der Induktionsvoraussetzung ist \(a_{j+3}\geq \left(\frac{3}{2}\right)^j\). Es bleibt zu zeigen, dass \(a_{j+2}\geq 0.5\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^j\)

Hilft Dir der Ansatz erst einmal weiter?

Viele Grüße
André

 

geantwortet vor 1 Jahr
letsrockinformatik, verified
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Potenzgesetze sind mir eigentlich geläufig, allerdings frage ich mich wie du auf das  \( ( \frac {3} {2} )^j + (\frac {1} {2]) * (\frac {3} {2})^j) \)  kommst?

 

Und erstmal vielen Dank für die Hilfe =)

Grüße

Tim

 

 

geantwortet vor 1 Jahr
k
kenshi3212,
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Moment, Du musst die Klammern schon richtig setzen ;) Es gilt:

\(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\)

Es liegt vor: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{j+1}\)

Für \(a=\frac{3}{2}\), \(m=j\) und \(n=1\) erhältst Du:

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{j+1}=\left(\frac{3}{2}\right)^j\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^1=\left(\frac{3}{2}\right)^j\cdot\frac{3}{2}\)

\(\frac{3}{2}\) ist wiederum: \(1+\frac{1}{2}\) (Bruchrechnung).

geantwortet vor 1 Jahr
letsrockinformatik, verified
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Hab ich gemerkt und war es am verbessern, da hast du schon geschrieben ^^.  Jetzt wird mein Beitrag allerdings gar nicht mehr korrekt angezeigt oO?!

Ja jetzt hab ichs das verstanden du hast die 3/2 gesplittet und dann multipliziert. Logisch, aber wäre jetzt ein Schritt den ich nicht gemacht hätte, daher kam er mir so "fremd" vor. Ich probier mich jetzt nochmal  und melde mich dann nochmal.
geantwortet vor 1 Jahr
k
kenshi3212,
Student, Punkte: 34
 
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Okay, wenn ich mit deinem Ansatz weitermache, fällt mir nur diese Möglichkeit ein:

\( a_{2} = ( a_{4}-( a_{3})  \ge  0,5* (\frac {3} {2})^j \)

->

\( ( (\frac {3} {2})^j + 0,5* (\frac {3} {2})^j ) - (\frac {3} {2})^j  \ge 0,5* (\frac {3} {2})^j ) \)

was dann letztendlich zu

\( 0,5* (\frac {3} {2})^j   \ge 0,5* (\frac {3} {2})^j  \) führen würde?

geantwortet vor 1 Jahr
k
kenshi3212,
Student, Punkte: 34
 
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