Komplexe Polynomfunktion = konjugiere Funktion


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Hi, ich muss leider nochmals nerven. Ich muss jede Woche ein Übungsblatt abgeben und insgesamt 50% richtig haben. Daher möchte ich jetzt schon so viel wie möglich richtig haben ^^.  Gerne würde ich wissen, ob mein Rechenweg richtig ist^^. Vielen Dank an alle die hier so hilfsbereit sind!!! Nun zur Aufgabe: Sei p: C (komplexe Zahl) -> C (komplexe Zahl),  \( p(z)= a_{n}z^{n} + a_{n-1}z^{n-1}+....a_{0} \) eine Polynomfunktion mit reelen Koeffizienten \(a_{0}, a_{1},.... \). Zeigen Sie: Falls z Element von C (komplexe Zahl) mit \( p(z)= 0, so ist auch p(z_{konj} = 0 \) Hinweis:  Sie dürfen benutzen  \( (z+w)_{konj} = z_{konj} + w_{konj} und (z*w)_{konj} = z_{konj} * w_{konj} \) So meine Idee sieht wie folgt aus: \(\sum_{k=0}^n a_{k}* z^{n} = \sum_{k=0}^n a_{k}* z_{konj}^{n} \) \(a_{k}*(b+c*i)^{k} = a_{k}* (b-c*i)^{k} \) \((b+c*i)^{k} = (b-c*i)^{k} \) \(b+c*i = b-c*i \) \(c*i = -c*i \) \)

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
k
kenshi3212,
Student, Punkte: 34
 
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4 Antworten
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Hallo,

der Befehl ist "\overline{}".

Oh ja hab ich auch gar nicht drauf geachtet. Natürlich ist es \( z^k \) :p.

Ich will nicht sagen dass das gleich ist, auch wenn beides Nullstelle ist und somit wir das gleichsetzen könnten.

Der Ansatz ist, es gilt:

\( p(z) = \sum^n_{k=0}a_k z^k = 0 \)

da z Nullstelle ist.

Jetzt konjugiere ich einfach die komplette Gleichung komplex.

\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \overline{\sum^n_{k=0}  a_k z^k} = \overline{0} \)

Jetzt gehen wir an deinen ersten Tipp

\( \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w} \) und erhalten

\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{  a_k z^k} = \overline{0} \)

Nun nehmen wir den zweiten Tipp

\( \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \) und erhalten

\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{  a_k} \overline{ z^k} = \overline{0} \)

Außerdem gibt uns der Tipp noch folgende Umformung: \( \overline{z^k} = \overline{z}^k \)

\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{  a_k} \overline{ z}^k = \overline{0} \)

Jetzt hast du schon richtig erkannt das \( a_k \) und natürlich auch die 0 reelle Zahlen sind und somit gilt:

\( \overline{a_k} = a_k \) und \( \overline{0} =0 \)

wir kommen also auf

\( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0}  a_k \overline{z}^k = 0 = p(\overline{z})\)

Somit ist auch \( p(\overline{z}) \) eine Nullstelle.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14513
 
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Hallo, das was du berechnest gilt nur für c=0, also reelle Zahlen. Im folgenden steht \( \overline{z} \) für das komplex konjugierte. Ich würde es so machen. Du musst auf den Ausdruck \( p(\overline{z})=0 \) kommen. \( p(z) = \sum^n_{k=0}a_k z^n = 0 \) \( \Rightarrow \overline{p(z)} = \sum^n_{k=0} \overline{a_kz^n} = \overline{0} \) Wie kommst du von da auf den Ausdruck \( p(\overline{z}) = \sum^n_{k=0} a_k \overline{z}^n =0 \) ? Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14513
 
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Hey,

erstmal vielen Dank für deine Antwort. Mir ist aufgefallen, dass es \( z^{k} und nicht z^{n} \) heißen müsste.

Hätte da ein paar Fragen:

Wie lautet der Code um den Konjugationsstrich in die Formel einzubauen?

Wie kommst du darauf, dass \( p(z) = (p(z))_{konj} \) ist?

Habe alternativ mal deinen Ansatz mit der Hand weitergeschrieben, ich hoffe das ist okay?!

 

Viele Grüße

 

Tim

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
k
kenshi3212,
Student, Punkte: 34
 
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Hey Christian,   vielen lieben Dank für deine Mühe. Hast mir sehr geholfen und mir ein paar mehr Punkte in den Übungsaufgaben ermöglicht. Muss einige Schritte zwar noch nachvollziehen, aber das bekomm ich auch noch hin!! Wünsch dir noch einen schönen Abend!   Viele Grüße Tim
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
k
kenshi3212,
Student, Punkte: 34
 

Das freut mich.

Wenn doch noch etwas unklar ist melde dich einfach nochmal.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen
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