Kongruenzklassen


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Hallo, hier fällt mir nichts ein, außer alle Quadrate zu berechnen. Das scheint mir aber falsch.     Daher wäre ich auch hier für einen Tipp sehr dankbar.

 

gefragt vor 11 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo,

für \( [b]^2 \in \mathbb{F}^{\times}_{p} \) gilt \( b^2=a+kp \) mit \( k \in \mathbb{Z} \)

Jetzt überprüfst du für welche a und b es ein k gibt.

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Woher nehme ich diese Gleichung? Bei meinen Berechnungen stimmt diese auch jeweils nur für a = b = 1.

Die Aufgabe verstehe ich leider immer noch nicht. Was ist überhaupt zu tun?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 11 Monate, 2 Wochen

Für b= 1 stimmt diese Gleichung nur für a= 1. Das ist korrekt. Das machst du nun für jede natürliche Zahl aus dem Intervall 0<b<p machen.

Das sollst du dann für jedes p ausprobieren.

Ist dir klar welche die 4 Primzahlen sind?

Weißt du was eine Kongruenzklasse ist?

Habt ihr schon mit Modulo gerechnet?

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 11 Monate, 2 Wochen

Wo kommt diese Gleichung her?

Wie kann ich das ausprobieren?

5,7,11,13

[a], ...

Ja!

 
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 11 Monate, 2 Wochen

Du sollst ja die Kongruenzklassen finden die zu [a] Quadrate sind.

Man nennt 2 ganze Zahlen "kongruent modulo m" wenn sie bei Division durch m den selben Rest besitzen.

Das ist dann der Fall wenn diese beiden Zahlen sich um ein ganzzahliges Vielfaches unterscheiden:

\( x \equiv y \ (\mod m) \)
\(\Rightarrow x = y + km \) mit \( k \in \mathbb{Z} \)

Jetzt sollst du die Quadrate von b ( \( 0 < b < p \) ) zu a ( \( 0 < a < p \) ) finden die kongruent zu a sind.

Nehmen wir die erste Primzahl p=5.

\( 1^2 = a + 5k \)

Nur für \( a=1 \) findest du ein \( k \in \mathbb{Z} \)

\( 2^2=4 =a + 5k \)

Hier findet sich nur für \( a= 4 \)

Für \( b=3\) gilt \( a=4\) und für \( b=4\) gilt \( a=1\)

Jetzt kommt die Primzahl 7 dran. Du fährst genau so vor , nur das jetzt

\( 0 < a < 7 \) und \( 0<b<7 \) gilt.

usw

Nun guckst du dir die Anzahl der Quadrate für die jeweiligen a an.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 11 Monate, 2 Wochen

Bedeutet dass, dass es immer p-1 Quadrate gibt und da die Einheitengruppe bis p-1 geht, alle [a] aus der Gruppe Quadrate sind?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 11 Monate, 1 Woche
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