Konstruktion - Geraden die in einer Ebene liegt


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Guten Tag. ich habe eine Frage bzgl. einer Aufgabe. a) Bestimmt werden soll eine Gerade g1, die in der Ebene E liegt b) eine zweite Gerade g2, die ebenfalls in E liegt, so dass  g1 und g2 zueinander senkrecht sind. E= (3; -2; 1) * ((r - (9; 8; -5)) = 0   Punkt b) wäre ja einfach, wenn man die beiden Geraden hat, dann muss doch das Skalarprodukt beider Richtungsvektoren gleich 0 ergeben ( also wären diese Geraden orthogonal zueinander)... Die Konstruktion bereitet mir leider große Probleme... Ich habe die Ebene versucht, statt in der Normalenform in die Parameterform umzuwandeln.. ich weiß nicht, ob mein Ansatz richtig war... Sitze hier schon seit Stunden und finde nichts passendes aus dem Internet..   Wäre für jede Hilfe dankbar

 

gefragt vor 11 Monate, 1 Woche
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edikw,
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3 Antworten
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Hallo,

du hast eine Ebene in Parameterform \(\epsilon : \vec{r}(\lambda, \mu) = \vec{r}_1+\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}\) und eine Gerade  \(g_1:\vec{r}(\rho) = \vec{r}_2 + \rho\vec{a} \)

a) Damit die Gerade in der Ebene liegt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein.
1: Der Richtungsvektor der Geraden ist eine Linearkombination aus den Richtungsvektoren der Ebene. ⇒ Die Gerade verläuft parallel mit der Ebene.
2): Damit jetzt G noch in E liegt, muss sich der Ortsvektor mit der Ebenengleichung darstellen lassen (z.B. \(\vec{r_2} = \vec{r_1}\)).

Sprich, wenn du eine Ebene in Parameterform gegeben hast  kannst du  \(\vec{r}_1\) als OV und \(\vec{u}\) oder  \(\vec{v}\) als RV nutzen.

 

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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Vielen Dank =). Du hast meinen Tag gerettet!
geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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edikw,
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Als Ergänzung zu b):

Der OV der 2. Geraden kann der selbe sein, wie der der 1. Geraden und damit der RV orthogonal zur 1. Geraden steht, aber dennoch in der Ebene liegt, bilden wir das Vektorprodukt aus dem RV der 1. Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.

Bsp: \(\epsilon : \vec{r}(\lambda, \mu) = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}
3\\
4\\
5
\end{pmatrix}+\mu
\begin{pmatrix}
8\\
2\\
7
\end{pmatrix} \rightarrow \vec{n} = \begin{pmatrix}
18\\
19\\
-26
\end{pmatrix}\)

\(g_1:\vec{r}(\rho) = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}+ \rho\begin{pmatrix}
8\\
2\\
7
\end{pmatrix}\)

\(g_2:\vec{r}(\sigma) = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}+ \sigma \begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
18\\
19\\
-26
\end{pmatrix}
\times \begin{pmatrix}
8\\
2\\
7
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}\)

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
m
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