Gauß-Algorithmus - Regeln


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Hallo alle zusammen! Habe mal ein paar Fragen zu dem Gauß-Verfahren:
  • Muss man sich beim Verrechnen der Zeilen einer Gleichung mit 3 Variablen an eine gewisse Reihenfolge (oder Regeln) halten? Und darf man, wenn man mit 4 oder mehr Zeilen rechnet, im ersten Schritt die Zeilen nur mit der Ersten Zeile verrechnen, im zweiten nur mit der zweiten Zeile usw. oder der ist das grundsätzlich egal?
  • Darf ich die erste Zeile anfangs auch mit der 3. Zeile tauschen, wenn die 0 gerade hierfür an einer passenden Stelle wäre oder ist dies nur mit der 2. Zeile möglich? Und darf ich auch beispielsweise zwischen Rechenschritt 3 und 4 Zeilen beliebig miteinander tauschen, wenn in einer Zeile durch den vorangegangenen Rechenschritt beispielsweise gerade praktischerweise zwei Nullen entstanden sind?
  • Und nun noch eine letzte Frage: wenn ich folgende Gleichungen gegeben habe:
2x + y - z = 1 3x - 4y + 10z = 2 8x + 5y + 2z = 3 Darf ich in obigem Beispiel die dritte Zeile durch vier teilen und dann die erste abziehen oder mit 1/4 (0,25) multiplizieren und dann die erste Zeile abziehen? Oder darf nur mit ganzen Zahlen multipliziert und schon garnicht dividiert werden? Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen! Liebe Grüße Fly

 

gefragt vor 10 Monate, 2 Wochen
f
fly,
Schüler, Punkte: 12
 
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3 Antworten
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Hallo,
es gibt für den Gauß-Algorithmus drei fundamentale Regeln, damit die Lösungsmenge des LG unverändert bleibt (sprich äquivalent umgeformt wird):

1): Zwei Zeilen (bzw. Gleichungen) dürfen miteinander vertauscht werden.
2): Jede Gleichung darf mit einer Zahl x (\(x\in \mathbb{R}\: \backslash \{0\}\))  multipliziert oder durch x dividiert werden.
3):  Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden (sprich Addition zweier Zeilen).

Somit wären die Fragen zu deinem Beispiel auch geklärt, oder? :)

geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12571
 
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Hallo,

prinzipiell ist es egal welche Gleichung du mit welcher "kombinierst".

Es ist meistens nur so, das du alle Gleichungen einmal mit jeder anderen verrechnen musst. Manchmal hat man Glück und beim kombinieren von 2 Gleichungen fallen mehr als eine Variable weg. Dann macht es auch Sinn diese Gleichungen zuerst zu kombinieren.

Man lernt es nur mit der Struktur, der Übersicht halber. Du darfst auch die Gleichungen tauschen. Also die zweite zur dritten machen und die dritte zur zweiten. Hauptsache das System beschreibt weiterhin die selben Variablen.

Das du darauf achtest wann es leichter ist Nullen zu erzeugen ist sehr gut, da es wie gesagt häufig das berechen einfacher macht.

Du darfst auch jede Gleichung mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren auch mit \( \frac 1 4 \). Denke dir bei dem Gleichheitszeichen eine Waage. Solange du auf beiden Seiten der Gleichungen die selbe Operation durchführst darfst du alles machen. Auch beide Seiten in die Potenz erheben oder so.

Worauf du achten musst, was du nicht darfst ist, dass kombinieren von einer Gleichung mit einer Gleichung die aus ihr enstanden ist.

Also wenn du zum Beispiel Gleichung 2 und 3 addierst und eine weitere Gleichung bekommst, macht es keinen Sinn diese Gleichung wieder mit der anfänglich 2 oder 3 Gleichung zu kombinieren,

Ich hoffe ich konnte alles klären, ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14513
 
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Vielen lieben Dank für eure Antworten! Zu Christians folgender Aussage habe ich noch eine Frage: "... Worauf du achten musst, was du nicht darfst ist, dass kombinieren von einer Gleichung mit einer Gleichung die aus ihr entstanden ist. Also wenn du zum Beispiel Gleichung 2 und 3 addierst und eine weitere Gleichung bekommst, macht es keinen Sinn diese Gleichung wieder mit der anfänglich 2 oder 3 Gleichung zu kombinieren, ..." Meinst du damit das direkte Verrechnen solcher zwei Gleichungen? Das würde ja nämlich auch keinen Sinn ergeben. Aber wenn ich Gleichung 2 und  Gleichung 3 subtrahiert habe und die Gleichungen neu aufgeschrieben habe, dürfte ich doch dann im nächsten Schritt wieder Gleichung 2 mit Gleichung 3 verrechnen, wenn ich bsp ein Vielfachen von Gleichung 3 von Gleichung 2 abziehe? Wenn ich beispielsweise folgende Gleichungen habe: I     1x + 2y + 1z = 3 II    1x + 3y + 3z = 2 III  1x + 1y + 2z =7 Habe nun für Zeile II: II - I gerechnet, sowie für Zeile III: II - III und erhalte I     1x + 2y + 1z = 3 II    0x + 1y + 2z = -1 III  0x + 2y + 1z = -5 Im letzten Schritt rechne ich für Zeile III aber wieder mit Zeile II und III, nämlich: 2mal II - III Erhalte dann letztendlich x=8, y=-3 und z=1 8-6+1 =3, sprich das Verfahren so sollte doch eigentlich funktioniert haben, oder? Jetzt verstehe ich nicht ganz, was du mit dem Kombinieren einer Gleichung mit einer Gleichung, die aus ihr entstanden ist, genau gemeint hast, könntest du mir ein Beispiel dazu geben? Liebe Grüße Fly
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
f
fly,
Schüler, Punkte: 12
 

Ja das darfst du auch. Da habe ich mich vielleicht etwas unglücklich ausgedrückt, oder es war sowieso klar.

Nur weil ich anfangs geschrieben habe das es eigentlich egal ist, wollte ich das eben erwähnen. An deinem Beispiel

I     1x + 2y + 1z = 3

II    0x + 1y + 2z = -1

III  0x + 2y + 1z = -5

Hier dürftest du jetzt zum Beispiel nicht die Gleichung II mit der Gleichung I oder II aus dem vorigen System

I     1x + 2y + 1z = 3

II    1x + 3y + 3z = 2

III  1x + 1y + 2z =7

nicht kombinieren. Auf die Idee würde man hier vermutlich auch nicht kommen. Hatte es nur ein paar mal in Nachhilfestunden gesehen und wollte nur erwähnen, dass das eben der Fall ist den man nicht machen darf.

Ich hoffe ich konnte die Verwirrung auflösen

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

Super, vielen Dank für deine Erklärung! Habe verstanden, was du gemeint hast :)

Lg

Fly

 
  -   fly, kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche
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