Abstand 2 paralleler Ebenen soll d=3 sein


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Guten Abend alle zusammen. Leider habe ich eine Blockade bzgl. einer Aufgabe. Ebene E1: 5x + 8 y +6z +4 = 0 Ebene E2: 5x + 8 y +6z +q = 0 bestimmt soll werden q1 und q2,  damit die parallelen Ebenen einen Abstand von 3 haben. Bin soweit gekommen: Normalvektor der Ebenen der orthogonal auf einer steht, ist ja auch orthogonal zur anderen Ebene.  n = (5 ; 8 ; 6)  ... Betrag davon wäre sqrt(125) Wäre für eine gute Hilfe echt dankbar.

 

gefragt vor 11 Monate, 1 Woche
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edikw,
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4 Antworten
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Hallo, der Abstand zweier Ebenen lässt sich allgemein wie folgt bestimmen:

\(d=\frac{\left | \vec{n}_1 \cdot (\vec{r}_1-\vec{r}_2)\right |}{\left | \vec{n}_1 \right |}=\frac{\left | \vec{n}_2 \cdot (\vec{r}_1-\vec{r}_2)\right |}{\left | \vec{n}_2 \right |}\)

wobei \(\varepsilon_1:\vec{n}_1\cdot (\vec{r}-\vec{r}_1)=0\, , \varepsilon_2:\vec{n}_2\cdot (\vec{r}-\vec{r}_2)=0\) die Gleichungen der zwei parallelen Ebenen sind.

In deinem Fall ist der Abstand schon gegeben. Deshalb stellst du eine neue Ebene auf, in der du deine Koordinaten und die Konstante durch den Betrag deines NV der HNF dividierst. Danach addierst bzw. subtrahierst du den Abstand dazu.

Somit ergibt sich \(\varepsilon_{\pm 3}: \frac{5x+8y+6z}{\sqrt{125}}+\frac{4}{\sqrt{125}}\pm 3=0\) als deine zwei Ebenen.

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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Ich muss ja keine 3. Ebene erstellen, sondern rausbekommen welchen Wert q1 und q2 haben sollen, damit der Abstand zwischen den zwei Ebenen 3 beträgt.   -   edikw, kommentiert vor 11 Monate, 1 Woche
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danke schon mal. Aber damit habe ich doch q noch nicht rausbekommen ?
geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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edikw,
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Ich muss ja keine 3. Ebene erstellen, sondern rausbekommen welchen Wert q1 und q2 haben sollen, damit der Abstand zwischen den zwei Ebenen 3 beträgt.  
geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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edikw,
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Naja, die Gleichung \(\frac{5x+8y+6z+4}{\sqrt{125}}=3\) kannst du umformen zu \(5x+8y+6z+4=3\sqrt{125} \Leftrightarrow 5x+8y+6z=-4-3\sqrt{125}\)

Sprich \(q_{1,2} = -4\pm 3\sqrt{125} \rightarrow q_1=-37.54,q_2=29.54 \)

 

Vereinfacht kann man auch durchführen \(\epsilon_{\pm d}:5x+8y+6z+4\pm d\cdot \left | \vec{n} \right |=0\) sprich \(\epsilon_{\pm 3}:5x+8y+6z+4\pm 3\cdot \sqrt{5^2+8^2+6^2}=0 \)

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
m
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Vielen Dank, ich hab es dann auch nochmal selbst geschafft, aber etwas umständlicher als dein Umformen. Deine Lösung wäre deutlich einfacher.

Ich habe bei der Ebene E2 das y und z = 0 gesetzt ... dann hatte ich  x = - q/5

dieses x habe ich dann in E1 eingesetzt und etwas umgeformt.

somit war q1,2 = 4  +- 15 * sqrt(5)                    also genau wie deins nur umständlicher

 

vielen Dank, hast mir auf jeden Fall sehr gut helfen können =)
  -   edikw, kommentiert vor 11 Monate, 1 Woche
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