Reelle Zahlen für Ungleichungen bestimmen


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Hallo Community,   ich mache grad das Arbeitsblatt für MfI 1 und nachdem ich das Skript gelesen und die Videos auf YouTube dazu gesehen hab, hab ich dieses Thema einigermaßen verstanden. Nun hab ich die Frage, ob diese Fallunterscheidungen, die ich gemacht hab, notwendig waren und was sie in meinem speziellen Fall aussagen. Oder ob man das einfach mit Logik lösen kann und sich sozusagen die Fallunterscheidung sparen kann. Die Aufgabenstellung war übrigens: Bestimmen Sie die reellen Zahlen x, die die folgenden Ungleichungen lösen.

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
h
 
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4 Antworten
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Hallo, die Fallunterscheidung ist hier wichtig anzuwenden, da für bestimmte x-Werte ein oder beide Nenner negativ werden können. Multipliziert man mit den Nennern, so muss gegebenenfalls das Vergleichszeichen umkehren. Du kannst die Fallunterscheidung auf 3 Fälle beschränken. \( I. x < -\frac 1 2 \) \( II. -\frac 1 2 < x < \frac 1 5 \) \(III. \frac 1 5 < x \) Im ersten Fall sind beide Nenner negativ. Im zweiten Fall ist nur der rechte Nenner negativ Und im letzt Fall sind beide Nenner positiv, Nun kannst du die Ungleichung vereinfachen. \( I. \frac 5 {5x-1} < \frac 2 {2x+1} \) \( \Rightarrow 5(2x+1) < 2(5x-1) \) \( \Rightarrow 10x +5 < 10x -2 \) \( \Rightarrow 5 < -2 \) Dies ist offensichtlich nicht wahr. Also gilt die Ungleichung schon mal nicht für \( x < -\frac 1 2 \) Und so gehst du auch bei den anderen beiden vor. Bei dieser Fallunterscheidung, ändert sich höchstens das Relationszeichen, also kannst du dir ab hier die Rechenarbeit schenken. Wie stehen die Relationszeichen in den anderen beiden Fällen? Grüße Christian
geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11363
 
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Hallo, irgendwie verwirrt mich dein Beitrag. An sich kann ich das was du geschrieben hast nachvollziehen, aber ich habe 2 Fragen und zwar: 1. Wie hast du die Fallunterscheidung aufgestellt? An sich erscheint es mir logisch, aber wie hast du die Werte -1/2 und 1/5 herausgefunden. Mir ist bewusst, dass das die Werte sind mit denen der Nenner 0 wird, wenn man sich für x einsetzt, aber ich verstehe nicht, wie man zu dieser Fallunterscheidung kommen soll. Wie sollte man außerdem formell korrekt darstellen, dass man diese Werte gefunden hat? 2. Da sich im zweiten Fall das Relationszeichen einmal ändern, gilt die Ungleichung für den zweiten Fall.  Bei dem dritten Fall wären die Relationszeichen ja identisch zum ersten Fall, da sie sich zwei mal drehen. Siehe Bilder. Habe ich das korrekt verstanden?     Viele Grüße
geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
h
 
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Und noch eine Frage, bei meinem ganz ersten Bild hier, habe ich ja 2 Fallunterscheidungen gemacht und diese nochmal in 2 Fälle untergliedert. Eigentlich entspricht das ja den von dir genannten Fällen, außer dass noch ein vierter Fall vorhanden ist, nämlich dass nur der linke Nenner negativ ist. Aber der gilt doch theoretisch auch, oder habe ich hier einen Denkfehler?  
geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
h
 
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Zur ersten Frage. Wir haben hier im Nenner zwei lineare Funktionen gegeben. Ich habe also überprüft wann diese Gleichungen positiv und wann sie negativ sind. \( 5x-1 > 0 \) \( \Rightarrow 5x > 1\) \( \Rightarrow x > \frac 1 5 \) Also ist die Funktion positiv für alle \( x > \frac 1 5 \) Für die andere lineare Funktion gilt \( 2x+1 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > -1\) \( \Rightarrow x > -\frac 1 2 \) Also ist diese Funktion positiv für \( x > -\frac 1 2 \) Da weiterhin \( -\frac 1 2 < \frac 1 5 \) gilt kommen diese 3 Intervalle zustande. Zur zweiten Frage: Ja das hast du genau richtig verstanden. Und zur dritten: Du hast bei der Aufgabe nichts falsch gemacht. Ich wollte dir nur verdeutlichen das du zuviel gemacht hast. Grüße Christian
geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11363
 
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