Basen im endlichen Primkörper


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Hallo, nach meinen Erkenntnissen ist die Anzahl der Basen für n=1 p, für n=2 2*p und für K^n, also n=n, n*p Basen. Ist das soweit richtig oder habe ich einen Gedankenfehler?   Hier die Aufgabe:   Vielen Dank und viele Grüße!

 

gefragt vor 11 Monate
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich würde eher sagen das hier ein kombinatorisches Problem vorliegt.

Wir hatten bei deiner letzten Frage gesehen, das der Vektorraum \( V= {\mathbb{F}_p}^n \) genau \(p^n-1\) nicht verschwindende Vektoren hat.

Nun wollen wir eine Basis konstruieren. Von den \(p^n-1\) Vektoren können wir einen Vektor aussuchen, als ersten Basisvektor. Nun brauchen wir einen Vektor der lin. unabhängig zu dem ersten ist. Wie viele Vektoren bleiben übrig für den zweiten Basisvektor?

Diese Überlegung führst du fort.

Für n=1 gibt es also nur p-1 Möglichkeiten, da der Nullvektor kein Basiselement sein kann. Wie viele gibt es für n=2?

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Also für n=1 p-1 Möglichkeiten.

Gemäß der Anzahl der Vektoren, wären es n=2 doch einfach p²-1 Vektoren? Und dementsprechend bei n (p^n)-1 Möglichkeiten.

Oder?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 11 Monate

Ja aber das sind jeweils nur die Möglichkeiten den ersten Basisvektor zu bestimmen. Bei n=1 gibt es auch nur einen Basisvektor.

Bei n=2 brauchen wir aber zwei Basisvektoren. Wenn wir \( p^2 -1 \) Möglichkeiten für den ersten haben. Wie viele Vektoren gibt es die dieser zweite Vektor annehmen kann?

Oder vielleicht ist die Überlegung einfacher wenn du dir überlegst wie viele Vektoren es gibt die zu einem Vektor linear abhängig sind. Denn diese Anzahl musst du von den \(p^2 \) Vektoren abziehen.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 11 Monate

Entschuldigung, aber ich steige noch nicht dahinter. Wenn für den Ersten p²-1 Möglichkeiten existieren, dann für den Zweiten doch einfach nur eine Möglichkeit weniger, weil die p²-1te Möglichkeit bereits die Erste ist?

Also p²-2.

Wie komme ich nun auf die Gesamtzahl der Basen im Standardvektorraum? Sind das p^n -n?

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 11 Monate

Aus dem ersten Basisvektor den du gewählt hast kannst du p Vektoren darstellen. Nämlich alle Vielfachen des ersten Basisvektors.

Also hast du dann noch \( p^2 -p \) Möglichkeiten für den zweiten Basisvektor.

Gucken wir uns mal noch n=3 an.

Wie viele Möglichkeiten gibt es dann für den letzten Vektor?

Es gibt \(p^3\) Vektoren. Wir haben bereits 2 Basisvektoren. Diese spannen nun ein System von \(p^2\) Vektoren auf. Also gibt es für den dritten Vektor noch \( p^3-p^2 \)

Nun müssen wir das auf den n-dimensionalen Raum übertragen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es dort für die jeweiligen Basisvektoren?
  -   christian strack, verified kommentiert vor 11 Monate
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