Komplexe Zahlen und Exponentialfunktion


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Hey Leute, folgende Aufgabe bereitet mir momentan leichte Kopfschmerzen:     Problem an der Sache ist, dass die Lösung n=0 nicht zulässig ist, weil 0 nicht aus den natürlichen Zahlen ist (zumindest in dem Modul nicht). Im Skript steht allerdings auch nichts was mir nützlich erscheint. Das einzige was ich online gefunden habe, ist der Weg mittels der Einheitswurzel, wobei ich hier allerdings daran scheitere dass ich am Ende sowohl k als auch n als Variable habe. Über einen Tipp oder Ansatz würde ich mich sehr freuen. Liebe Grüße, Ultor

 

gefragt vor 8 Monate
u
ultor,
Student, Punkte: 70
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich würde wohl über die Polarform gehen.

So ist nämlich \(z=e^{\frac{i\pi}{3}}\) (beachte, dass diese Darstellung nicht eindeutig ist, da \(e^{i2\pi}=1\))

Somit ist \(z^n=e^{\frac{in\pi}{3}}=cos(\frac{\pi}{3}n)+isin(\frac{\pi}{3}n)\)

Also \(1=cos(\frac{\pi}{3}n)+isin(\frac{\pi}{3}n)\).

Jetzt musst du nur noch klären, für welche \(n\) der \(cos=1\) und gleichzeitig der \(sin=0\) ist.

Alles klar?

 

Gruß,

Gauß

 

PS: Strenggenommen müsstest du natürlich die Uneindeutigkeit mit berücksichtigen. 

In dem Falle musst du gucken, wann \(cos\left ( \left ( \frac{\pi}{3}+2\pi\cdot k \right )n \right )=1\) gilt. 

geantwortet vor 8 Monate
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Vielen Dank. Im Groben hab ich jetzt verstanden wie ich da ran zu gehen habe. Mir ist nur direkt beim ersten Schritt nicht klar, wie du auf \( \frac {\pi} {3} \) im Exponenten kommst. Wenn du mir das nochmal kurz erklären könntest bin ich dir sehr dankbar. Vielen Dank, Ultor

  -   ultor, kommentiert vor 8 Monate

Du willst dein \(z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\) in die Form \(re^{i\phi}\) bringen, wobei \(r\) der Radius und \(\phi\) dein Winkel ist.

Demzufolge ist dein Radius \(r=\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2}=1\). Deinen Winkel erhälst du aus trigonometrischen Überlegungen, Vgl. :[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Komplexe_konjugation.svg/256px-Komplexe_konjugation.svg.png[/img]

Also ist hier  \(\phi=arccos\left ( \frac{\frac{1}{2}}{r} \right )=arccos\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\pi}{3}\).

Wir erhalten insgesamt also \(z=e^{i\frac{\pi}{3}}\).
  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 8 Monate
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