Funktion vereinfachen


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Komme bei der Aufgabe nicht weiter, hat jemand nen Tipp?

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
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marryn,
Student, Punkte: 16
 
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3 Antworten
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Hallo,
zuerst könntest du dich um den Binomialkoeffizienten kümmern. Danach kannst du den Ausdruck \(\left ( \frac{1}{e^x} \right )^i\) umschreiben, indem du den Bruch so veränderst, dass dieser verschwindet.

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
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maccheroni_konstante,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 8111
 
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Hallo, zu a) Es kann ja nur der Bruch eine Definitionslücke erzeugen? Für welches x wird der Nenner Null? zu b) Wie Maccheroni schon sagt wird sich durch auflösen des Binomialkoeffizienten der Logarithmus in Wohlgefallen auflösen. \( (e^x)^i = e^{ix} \) und \( (\frac 1 {e^x})^i = e^{-ix} \) Mit Hilfe der Eulerformel vereinfachen sich diese Ausdrücke auch nochmal. Hmm die Summe weiß ich gerade nicht ob man die vereinfachen kann. Ich denke mal weiter drüber nach. zu c) Wenn du die Vereinfachung von b) nutzt wird das einsetzen keine Probleme geben. Grüße Christian  
geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12318
 

Das vereinfachen habe ich bis auf die Summe geschafft. Was ich nicht verstehe ist wie ich die Nullestellen von cos^2n(x) berechnen kann. Von sin(x) sind die Nullestellen bei k*pi, das weiß ich schon. Aber wie rechne ich die Nullstellen von dem Cosinus aus wenn der einen Exponenten hat?

 

 
  -   marryn, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen
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Hallo, es wurde ja hier eigentlich bereits alles gesagt, außer wie die Summe zu handhaben ist. Wenn man sich angeguckt hat welche \(x\in \mathbb{R}\) nach a) nicht zulässig sind, und sich daran erinnert, dass \(cos(x)\in \left [ -1,1 \right ]\ \forall x\in \mathbb{R}\) , lässt sich deine Reihe mit Hilfe der Geometrischen Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty}aq^k=\frac{a}{1-q}\) leicht in den Griff kriegen.   Gruß, Gauß
geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Ich komme bei der geometrischen Reihe nicht weiter.. Ich habe jetzt in a) bestimmt, dass k*pi=x nicht zulässig ist, weil sind(x) sonst = 0 wird. Nur weiß ich nicht wie mir das nun beim vereinfachen hilft und was ich machen muss.   -   marryn, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Dann kannst du jetzt folgern, dass dann auch \(cos(n\pi)\in\left \{ -1,1 \right \}\) nicht angenommen wird, woraus \(\left | cos(x) \right |<1\) folgt. Wir dürfen daher die Geometrische Reihe nutzen um zu sehen, dass \(\sum_{n=0}^{\infty}cos^{2n}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left ( cos^{2}(x) \right )^n=\frac{1}{1-cos^2(x)}\).   -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen
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