Basisergänzungssatz bei Untervektorräumen


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Hallo,   folgende Aufgabe ist mir unklar. Ich würde jetzt einfach über Dimensionen argumentieren, sprich beim letzten ist r=n und beim ersten U ist r logischerweise =r. Demnach gäbe würde die Folge n-r Untervektorräume enthalten. Ist das soweit korrekt überlegt? Wie zeige ich dann, dass es "dazwischen" nichts gibt? Vielen Dank und viele Grüße!

 

gefragt vor 10 Monate, 4 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo, der Grundgedanke der dahinter steckt ist nicht verkehrt. Du sollst den Basisergänzungssatz nutzen. Was sagt dieser denn aus? Wofür steht die Dimension? Wie kannst du diese beiden Dinge in Verbindung bringen? Hmm das zweite würde ich glaub ich über die Annahme das es so einen gibt beweisen. Für diesen würde dann gelten \( U_s \subsetneqq W \subsetneqq U_{s+1} \) Warum kann das nicht sein? Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Nach dem Basisergänzungssatz kann ich ja die Basisvektoren von Ur  sukzessive um einen der n-r Basisvektoren aus V erweitern und erhalte dann immer die nächsthöhere Dimension bis Ur = V ist (also dim(Ur) = r = n = dim(V) ) , richtig?

Wie kann ich dazu den Beweis führen? Einfach so argumentieren oder kann man da auch was zu rechnen?

 

Zum Zweiten kann ich doch einfach sagen, dass es kein W geben kann, weil die Dimension immer um eins mit dem Erweitern der Basis wächst. Eine nicht ganzzahlige Anzahl an Basisvektoren (und somit Dimension) kann es meines Wissens nach nicht geben. Also kann auch nichts dazwischen liegen. Kann man auch das irgendwie hübsch notieren?

Viele Grüße!

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen

Ja im Grunde, das muss nur etwas schöner formuliert werden.

Der Basisergänzungssatz sagt das du eine linear unabhängige Menge aus V mit Elementen aus einem Erzeugendensystem von V erweitern kannst bis du eine Basis erhälst.

Ich würde daher über die Basis argumentieren anstatt über die Dimension. Aber nimm den Gedanken den du hast und denk dir dabei das die Dimension für die Kardinalität der Basis steht.

Dann nimm die Basis \(B_r\) von \( U_r\) als linear unabhängige Menge. Das kannst du machen, da

\( B_r \subset U_r \subset V \)

Das Erzeugendensystem \( E \) kann beliebig sein.

Was kannst du jetzt genau mit dem Basisergänzungssatz machen, damit wir \( U_{r+1} \) erhalten und warum gilt dann

\( U_r \subsetneqq U_{r+1} \)

Also einmal kurz argumentieren warum \( U_r \) in  \( U_{r+1} \) ist aber nicht anders herum.

Das kann man dann wie du sagst sukzessiv fortführen. Wie lange? Warum haben wir dann \( V \) erreicht?

 

Zum zweiten würde ich denke ich ne Fallunterscheidung machen. Was passiert wenn das erste \( \subsetneqq \) gilt. Und was wenn das zweite gilt?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen
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