Für welche Skalare sind die Vektoren eine Basis?


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Hallo, im Grunde ist die Aufgabe auf den ersten Blick leicht. Demtentsprechend habe ich ein wenig gerechnet, die Bedingung für die Basis ist ja lineare Unabhängigkeit (und Erzeugendensystem). Nun ist es leider so, dass ich nicht ganz verstehe, wie ich λ und µ aus den Vektoren gewinne. Wenn ich weitere Skalare α und β verwende, ergibt meine Rechnung, dass α=β sein muss. Demnach müsste λ=-µ und umgekehrt sein. Ist das korrekt oder völlig verkehrt? In dem Fall wäre ich für einen Tipp wie immer sehr dankbar. Viele Grüße!  

 

gefragt vor 10 Monate, 4 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo,

\( \lambda = - \mu \) ist eine Lösung. Es gibt aber noch mehr. Zum Beispiel

\( \binom 2 1 , \binom 1 2 \)

bildet auch eine Basis.

Ich würde eher berechnen, für welche Werte von \( \lambda \) und \( \mu \) die beiden Vektoren linear abhängig sind.

\( \begin{pmatrix} \lambda & \mu & \vert & 0 \\  \mu & \lambda &  \vert & 0 \end{pmatrix} \)

Das musst du lösen. Wenn die beiden Vektoren von einander linear abhängig sind, musst du eine  Nullzeile erzeugen können. Das liefert dir die Werte für die die beiden Vektoren linear abhängig sind.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Was kann ich da lösen? Kommt da nicht automatisch λ=-µ und -λ=µ und somit 0=0 und 0=0 raus?  Wie kann ich da die Werte für die lineare Unabhängigkeit gewinnen?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen

Ich habe dabei also Lösung bekommen

\( \lambda ^2 = \mu ^2  \)

\( \begin{pmatrix} \lambda & \mu & \vert & 0 \\  \mu & \lambda &  \vert & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \frac {\mu} {\lambda} & \vert & 0 \\  0 & \lambda -\frac {\mu^2} {\lambda} &  \vert & 0 \end{pmatrix} \)

Die letzte soll eine Nullzeile sein. Jetzt gibt es dabei noch 2 Möglichkeiten. \( \lambda \) und \( \mu \) haben das selbe Vorzeichen oder ein umgekehrtes.

Die Fälle müsstest du einzeln überprüfen hast aber schon gesehen das bei unterschiedlichem Vorzeichen die Vektoren linear unabhängig sind.

Also sind die Vektoren nur linear abhängig wenn \( \lambda = \mu \) gilt.

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen

Ich vermute mal, dass ich dicht davor bin, es zu verstehen. Die erste Zeile ergibt sich durch Division mit λ?

Die zweite kann ich noch nicht ganz nachvollziehen. Wie forme ich das um?

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen

Genau die erste Zeile wird durch \( \lambda \) geteilt.

Die Zweite ensteht in dem ich dann das \(\mu \)-fache  der ersten Gleichung von der zweiten abziehe.

Dabei soll dann durch die lineare Abhängigkeit eine Nullzeile entstehen, und deshalb muss dieser Eintrag dann gleich Null werden.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 4 Wochen
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