Dimension des Vektorraum der stetigen Funktionen


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Hallo, bei folgender Aufgabe tue ich mich schwer, weil ich nicht einschätzen kann, welche Funktionen sich hier für einen Beweis eignen könnte. Es leider so, dass der Professor Kenntnisse in Analysis I voraussetzt, obwohl das erst im nächsten Semester einsetzt. Im Grunde muss ich ja nur zeigen, dass es unendlich viele Basisvektoren gibt, also unendlich viele linear unabhängige Funktionen und somit eine unendliche Größe Basis sowie Dimension? Nur leider weiß ich nicht, wie.   Vielen Dank für eine kleine Starthilfe!

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo, überlege es dir mal anhand von Polynomfunktionen. Weißt du wie die Basis der Polynomfunktionen aussieht? Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Das weiß ich nicht. Aber wenn ich mir das überlege, sind das Funktionen der Form λ*x^i, wobei i alle natürlichen Zahlen durchläuft? Demnach wäre die Basis wie die natürlichen Zahlen unendlich?

Würde das schon der Aufgabe entsprechen?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen

Polynome sind stetige Funktionen. Deshalb ist der Vektorraum der Polynomfunktionen ein Unterraum des Vektorraums der stetigen Funktionen und somit muss die Dimension (Kardinalität der Basis) des Vektorraums der stetigen Funktionen größer gleich des Unterrraums der Polynome sein. 

\( \lambda \cdot x^i \) sind erstmal Monome aber du hast recht das man daraus alle Polynome basteln kann. Das ist genau die Definition eines Erzeugendensystems. Die Basis der Polynome ist

\( \{x^i \vert i \in \mathbb{N}_0 \} = \{1,x,x^2,x^3 , \ldots \} \)

Aber die Idee dahinter hast du richtig erkannt. Egal welches i wir aus den natürlichen Zahlen wählen wir können mindestens ein i+1 finden das wieder größer ist als i und somit ein Basiselement ist.

Wenn ihr die Polynome noch nicht als Vektorraum definiert habt musst du vielleicht einmal kurz zeigen dass das ein Unterraum ist.

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen
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