Grenzwert - Epsilonumgebung


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Hallo zusammen.   Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Grenzwert ist 1 aber das mit dem Epsilon habe ich nicht verstanden...   Danke im voraus!

 

gefragt vor 10 Monate
a
abdi,
Schüler, Punkte: 2
 
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3 Antworten
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Du hast deine Folge n^2 / ( n^2 +1)

Wenn du nun deinen Grenzwert hast, also 1= a

Dann folgendes:

| n^2 / ( n^2 +1)      -      a  | =  | n^2 / ( n^2 +1)      -      1  | =   Betrag auflösen wie es geht = | (n^2 - n^2 -1) / (n^2 + 1)| = | -1 / ( n^2 +1)| = 1/ ( n^2 +1) = ....

Dann musst du das n freistellen bzw abschätzen, damit sich der Term vereinfacht  Dann wird n durch N ersetzt, und weil n >= N ist, wird

aus der Gleichung dementsprechend eine Ungleichung welche < epsilon ist.   dann Formst du das nach N um und hast eine Ungleichung wie zB:   1/epsilon*2 >= N.

dann musst du noch ein epsilon festlegen und in die Ungleichung einsetzen. Dann bekommst du einen Wert für N

Achtung !!! N Element der natürlichen Zahlen.

Wenn du zb. N = 2/3 rausbekommst, ist dein N = 1. Aufrunden zur nächst größten natürlichen Zahl

 

Die Umformung oben nochmal nachrechnen. die hab ich nur auf die schnelle gemacht.

geantwortet vor 10 Monate
trixxter,
Student, Punkte: 1413
 












Hallo Trixxter41.

 

Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ich kann dir ehrlich gesagt nicht wirklich folgen… :(


  -   abdi, kommentiert vor 10 Monate

[img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/11/aufgabe-epsilon.png[/img]

ich bin jetzt so weit gekommen...
  -   abdi, kommentiert vor 10 Monate

Hi,

Kein Problem. Ich versuchs am besten mal mit einer anderen Folge:

g= (n-1)/(n+1) --n gegen inf----> 1        Grenzwert a = 1

Bedingung:  |g - a| <= epsilon    ,   n>= N

Rechnen wir:  |(n-1)/(n+1)      -     1| =  |          [(n-1) - (n+1)]  / (n+1)          |  (auf den gleichen Nenner bringen und kürzen)

=  |          [n+1 -  n - 1)]  / (n-1)          | =   |         -2  / (n+1)          | = ( Betrag loswerden) =  2/(n+1)  <= 2/(N+1)    (weil n>=N)  <= epsilon (ich nenne es mal e)

 

Ich habe also:

2/(N+1) <= e

<=>  2/e <= N+1

<=> (2/e)-1 <= N               ----------------->  Hiermit bekommst du ein N raus ab dem für ein bestimmtes e, alle Folgeglieder von g weniger weit vom Grenzwert = 1 entfernt sind, als Dein Abstand epsilon =e

 

Folgende Schritte optional. je nachdem ob gefragt:

 

Jetzt einfach einen Wert für e einsetzen, zB. 0,1

(2/0,1)-1 <= 19

 

Hättest du e = 0,23 genommen, dann:

(2/0,23)-1 <= 7,6956  -------> aufrunden zu: N= 8

Welches N du bekommst ist an sich egal. Du musst nur zeigen, dass du ein N bekommst für Konvergenz.
  -   trixxter, kommentiert vor 10 Monate

Zu deiner oberen Rechnung:

Die Bedingung ist seltsam.

Laut meinem Höhere Mathematik Skript aus dem Studium heißt sie   |Folge - Grenzwert|  <= epsilon , nicht anders rum. Rechne mal mit Meiner. Ich glaube bei der auf deinem Aufgabenzettel wurde was verdreht.

 

Grundsätzlich: Umformung ok.

Aber du musst !!! für n die Bedingung n>=N einsetzen. Du darfst nicht mit klein n weiterrechnen. n muss durch N mit n>=N ersetzt werden.

 

Und dann nach epsilon auflösen genau.
  -   trixxter, kommentiert vor 10 Monate

Korrigiere:

Habe es mit meiner Methode nachgerechnet.

Es kommt das gleiche raus. dein Ergebnis ist richtig.

Aber trotzdem: Das n>=N darfst du nicht vergessen, weil je nachdem wie deine Folge aussieht kann diese Bedingung darüber entscheiden ob du es lösen kannst oder nicht.

Wenn du diese Bedingung nicht anwendest, dann kannst du immer nach n lösen und dann wäre jede Folge Konvergent.
  -   trixxter, kommentiert vor 10 Monate

Ja machen die Betragsstriche es nicht irrelevant in welcher Reihenfolge man subtrahiert?

 

Ich danke dir vielmals für die Mühe und Erklärungen!!!
  -   abdi, kommentiert vor 10 Monate

Ja genau. Das hatte ich nicht bedacht

Kein Problem :)
  -   trixxter, kommentiert vor 10 Monate
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Hallo Trixxter41.   Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ich kann dir ehrlich gesagt nicht wirklich folgen... :(
geantwortet vor 10 Monate
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abdi,
Schüler, Punkte: 2
 
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Ja machen die Betragsstriche es nicht irrelevant in welcher Reihenfolge man subtrahiert?   Ich danke dir vielmals für die Mühe und Erklärungen!!!
geantwortet vor 10 Monate
a
abdi,
Schüler, Punkte: 2
 
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