Lineare Abbildungen, Polynome, Matrizen


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Hallo, dieses Mal habe ich diese Aufgabe: zu (i): Hier habe ich bereits eine Idee. Ist A = ( -3 0 0 0 | 0 -4 0 0 | 0 0 3 0 | 0 0 0 0 ) korrekt? ( "|" soll eine neue Zeile darstellen) zu (ii): Hier habe ich leider keine Idee und wäre dankbar für einen Tipp. zu (iii): Hier ist natürlich relativ leicht den trivialen Vektor zu bestimmen. Leider weiß ich nicht, inwieweit ich die Matrix verändern kann, um auch nicht-triviale Lösungen zu erhalten. Vielen Dank!

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo, tut mir leid bin heute etwas auf dem Sprung, deshalb habe ich es nicht durch gerechnet. Aber du müsstest in einigen Zeilen eigentlich zwei Werte haben. Die erste Zeile hat alle Werte die zum Skalar ( also zum Basiselement 1) beitragen. Du musst dir überlegen welcher Anteil durch die erste und welche durch die zweite dazukommt. ii) Wenn du die richtige Matrix hast kannst du diese mit dem Vektor multiplizieren, Das Ergebnis ist das Bild. iii) Der Kern sind dann alle Vektoren die auf den Nullvektor abbilden. Und die nicht-trivialen sind die ungleich dem Nullvektor. Grüße Christian    
geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Da ja scheinbar alles von der Matrix abhängt, möchte ich jetzt erstmal nicht die anderen Aufgaben machen. Das Prinzip ist mir nun vollständig klar. Nur wäre es ärgerlich, wenn ich alles mit der falschen Matrix rechne und ich dann wieder von vorne beginnen muss. Daher wäre ich dankbar, wenn mir vielleicht jemand bestätigen könnte, dass die Matrix so korrekt ist (bzw. auch nicht ;) ).   -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen

Ich habe eine andere Matrix als Lösung.

Gucken wir uns zuerst ein Beispiel an

\( f(x) = x^3 +x^2 + x +1 \) \( P \to P' - P'' \)

\( \Rightarrow 3x^2 +2x +1 - 6x -2 \)

Nun überlege dir folgendes:

Die Basis ist \( \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} \)

Also haben wir in der ersten Zeile unserer Matrix alle Werte stehen die auf durch das Basiselement \( 1 \) dargestellt werden. Also die Summanden ohne x.

Der Wert \( a_{11} \) steht für den Anteil den wir durch die 1 in unserem Beispiel bekommen. Da wir aber einmal und zweimal ableiten fällt dieser Weg. Also ist \( a_{11} = 0 \). Der nächste Wert steht für den Anteil vom x. Wenn wir einmal ableiten erhalten wir 1. Also ist \( a_{12}= 1 \). Wir erhalten durch zweimaliges ableiten noch einen Beitrag durch das \( x^2 \). Dieser ist zweimal abgeleitet 2. Da wir aber die zweite Ableitung abziehen ist \( a_{13}= -2 \).
\( a_{13} =0 \)

\( \Rightarrow ( 0 \ 1 \ -2 \ 0) \)

ist somit unsere erste Zeile.

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Super. Das habe ich verstanden. Aber die zweite Ableitung müsste 6x+2 sein, oder?

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Leider finde ich keinen nicht-trivialen Vektor aus dem Kern. Ich erhalte immer 0,0,0,0 als Lösung, was ja trivial ist.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Oh ja da hast du recht. Da habe ich mich vertippt. Ich korrigiere das aus.

Welche Matrix hast du als Lösung?

Die Lösungsmatrix hat eine Nullzeile. Damit gibt es automatisch einen Wert der beliebig gewählt werden kann. 

Das macht auch Sinn, da die konstanten Teile des Polynoms beim ableiten wegfallen. Somit wird jede konstante Funktion automatisch auf die 0 abgebildet.

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Ich habe nun als Matrix A = ( 0 0 0 0 | 1 0 0 0 | -2 2 0 0 | 0 -6 3 0 ).

Demnach sind bei einem Vektor x aus dem Kern auf jeden Fall  x1,x2,x3 = 0. x4 kann ich beliebig wählen und schon habe ich einen Vektor?

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Sind das Zeilen oder Spaltenvektoren bei dir?

So wäre es zum Beispiel richtig.

\( \begin{pmatrix} 0 & 1  & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0  & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Du kannst das einfach mal ausprobieren, indem du ein Polynom dritten Grades nimmst wie ganz oben in dem Beispiel, die Vorfaktoren der \( x^i\) als Vektor darstellst und danach mit der Matrix multiplizierst.

Es muss die Differenz der ersten und zweiten Ableitung als Lösung heraus kommen.

Bedenke unser erstes Basiselement ist \( 1 \) ( Man kann natürlich auch bei \( x^3 \) anfangen).

Alles was nach dem abbilden wieder durch unser erstes Basiselement dargestellt wird muss in der ersten Zeile der Matrix sein, da die Multiplikation der ersten Zeile und des Vektors wieder der erste Eintrag des Bildvektors ist.

Wenn du willst das \( x^3 \) dein erstes Basiselement ist musst du alles was wieder durch \( x^3 \) dargestellt wird in die erste Zeile packen.

Wenn du \( 1 \) als ersten Basisvektor nimmst ist \( x_1 \) frei wählbar, nimmst du \( x^3 \) dann ist \( x_4 \) frei wählbar.

Wie du siehst hängt die Gestallt der Matrix von der Wahl und Reihenfolge der Basis ab.

Zu deiner Frage: ja genau du kannst jetzt irgendeinen Wert wählen. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion

\( f(x) = 3 \)

\( \Rightarrow f'(x) = 0 , f''(x) = 0 \)

\( \Rightarrow 0 - 0 = 0 \)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen
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