Nullstellen des charakteristischen Polynom 5.Grade


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Guten Tag,

Ich komme bei der Aufgabe leider gar nicht weiter und würde mich sehr über einen Hilfe freuen :)

Ich habe über Polynomdivision schon die Funktion auf die vierte Ordnung gebracht, weiter komm ich nicht.

Wie funktioniert das mit den komplexen Nullstellen, wie komme ich darauf?

Anbei ein Bild. 

Herzliche Grüße 

Sarah

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
s
sarahwiwi,
Student, Punkte: 107
 

X hoch (5)-5 hoch (4)+6 hoch (3)+18Xhoch 2-7X-13=0   -   sarahwiwi, kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen

Es gibt die einfache reelle Nullstelle 1, die zweifache reelle Nullstelle - 1 und die einfach komplexe Nullstelle 3=2i.

Auf 1 komme ich auch durch raten, alles andere ist mir ein Rätsel
  -   sarahwiwi, kommentiert vor 10 Monate, 3 Wochen
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4 Antworten
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Hallo,

das Bild ist leider nicht dabei.

Wir haben die Funktion

\( x^5 -5x^4 +6x^3 +18x^2 -7x -13 \)

Alle rationale Nullstellen eines Polynoms können über die Form

\( \frac a b \) dargestellt werden, wobei \( \vert a \vert \) ein Teiler von \( a_0 \) ( dem kostanten Teil) und \( \vert b \vert \) ein Teiler von \( a_n\) (dem Vorfaktor des x mit der höchsten Potenz ).

Da dein Polynom normiert ist, also du eine \( 1 \) vor dem \( x^5 \) hast, musst du dir nur den konstanten Part angucken \( -13 \).

\( \vert -13 \vert = 13 \) ist eine Primzahl, hat also als Teiler nur die 1 und 13.

Also sind mögliche Kandidaten für rationale Nullstellen \( 1,-1,13,-13 \)

Diese musst du dann durch probieren. Du würdest 1 und -1 als Lösungen finden.

Nach zweimaliger Polynomdivision einmal durch (x-1) und einmal durch (x+1) erhalten wir:

\( x^3-5x^2+7x+13\)

Da wir eine weitere auch erraten müssen glauben wir daran, dass es noch eine rationale Zahl als Nullstelle geben muss ;)

Da 13 und -13 bereits ausgeschlossen wurden versuchen wir nochmal die 1 und -1 und finden heraus das -1 noch eine weitere Nullstelle ist.

Wenn du nun wieder Polynomdivison durchführst erhälst du ein Polynom 2. Grades. Dieses kannst du nun mit der p/q-Formel lösen.

Noch zu der komplexen Nullstelle. Du meintest sicher \( x_{4/5} = 3 \pm 2i \)

Löse mal die quadratische Gleichung die über bleibt. Du findest

\( x_{4/5} = 3 \pm \sqrt{-4} \)

Da aber \( i = \sqrt{-1} \) erhälst du die angegebene Lösung.

Du kannst dir auch einfach mal merken. Wenn du ein Polynom mit reellen Koeffizienten hast und eine Lösung komplex ist, so ist auch ihr komplex konjugiertes eine Nullstelle.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
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Das freut mich zu hören. :)

Sagen dir die komplexen Zahlen etwas?

Das ist eine Zahlenmenge die aus den reellen Zahlen entsteht, indem man sie mit der imaginären Einheit \( i \) erweitert.

Die Idee dafür kam weil man genau solchen Polynomen eine Lösung zuroden wollte.

In den komplexen Zahlen hat jedes Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen.

Dafür wird wie bereits erwähnt

\( i = \sqrt{-1} \) definiert.

Gucken wir uns das mal anhand deiner Aufgabe an:

Die quadratische Gleichung die am Ende heraus kommt ist:

\( x^2 -6x + 13 \)

Nun wollen wir die Gleichung mit der p/q-Formel lösen und erhalten

\( x_{1/2} = – \frac {-6} 2 \pm \sqrt{ (\frac {-6} 2)^2 – 13} = 3 \pm \sqrt{-4} = 3 \pm \sqrt{(-1)\cdot 4} = 3 \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{4} = 3 \pm 2i \)

In dem wir \( \sqrt{-1} \) ausgeklammert und einfach als \( i \) geschrieben haben konnten wir die Wurzel lösen und erhalten eine Lösung für die Gleichung.

Den Anteil mit \( i \) nennt man Imaginärteil. Die komplex Konjugierte hat einen Vorzeichenwechsel beim Imaginärteil.

Wie du durch das \( \pm \) in der obigen Lösung siehst haben wir zwei Lösungen mit gleichem Realteil (der Anteil ohne \( i \) ) aber einem Vorzeichenwechsel beim Imaginärteil. Also haben wir eine komplexe Zahl als Lösung und ihr komplex konjugiertes auch.

Daniel hat eine ganze Playlist zu dem Thema.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
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Super, vielen lieben Dank Christian. Du hast mir sehr weitergeholfen! Aber warum ist i=Wurzel aus -1?  Undich weiss vorher, dass eine Lösung komplex ist, weil Wurzel aus -4 nicht geht? Verstehe nur den letzten Satz noch nicht so ganz :) Ganz herzlichen Dank und einen schönen Tag noch! Sarah
geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
s
sarahwiwi,
Student, Punkte: 107
 
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Super klasse, vielen, vielen, vielen lieben Dank!!!!
geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
s
sarahwiwi,
Student, Punkte: 107
 

gerne :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen
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