Rang und Kern einer Matrix


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Hallo, folgende Aufgabe ist dieses Mal an der Reihe: Ich habe den Gauß-Algorithmus angewandt und bin zu folgender Matrix gelangt: (   -3  9      14       29    -30 0   0  -20/3  - 22/3     8 0    0         0    -68/15  12/5 0     0      0         0              -14,4  )   Ich hoffe, dass das eine der richtigen Lösungen ist. Der Rang der Matrix wäre somit 4. Zum Bestimmen des Kerns (und hier bin ich mir hauptsächlich unsicher) habe ich die Zeilen jeweils gleich 0 (also Nullvektor) gesetzt und als Ergebnis bekommen, dass x1 = 3*x2 ist und x2 = x1/3. Sonst x3=x4=x5=0. Wären die Basisvektoren dann (3*x2 0 0 0 0) und (0 x1 0 0 0)? Scheint mir nicht korrekt ;). Deshalb wäre ich froh, wenn ich wüsste, wo mein Fehler liegt, bzw. ob meine Zeilen-Stufen-Form überhaupt korrekt ist. Vielen Dank!  

 

gefragt vor 10 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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3 Antworten
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Hallo,

"Nun ist noch die Frage, wie ich an die Basis des Kerns gelange."- Das ist dann jetzt auch schnell gemacht.

\(Ker\left ( A \right )=\left \{ x\in\mathbb{Q}^5\middle|Ax=0 \right \}=\left \{ \begin{pmatrix}
\frac{39}{5}x_4-\frac{22}{5}x_5+3x_2\\x_2
\\-\frac{2}{5}x_4+\frac{6}{5}x_5
\\x_4
\\x_5
\end{pmatrix}\middle|\ x_2,x_4,x_5\in\mathbb{Q} \right \}\)

Jetzt können wir einfach ablesen:

\(\Rightarrow \) \(B_{Ker\left ( A \right )}=\left \{ \begin{pmatrix}
\frac{39}{5}\\0
\\-\frac{2}{5}
\\1
\\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-\frac{22}{5}\\0
\\\frac{6}{5}
\\0
\\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
3\\1
\\0
\\0
\\0
\end{pmatrix}
\right \}\)

 

Gruß,

Gauß

geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Wie komme ich denn an die wilden Gleichungen im ersten Teil? Die Basis dazu ist ja klar.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Das sind einfach die \(x\), für die \(Ax=0\) gilt. Mit anderen Worten habe ich da einfach das Lineare Gleichungssystem \(Ax=0\) gelöst.

 

"Zum Bestimmen des Kerns (und hier bin ich mir hauptsächlich unsicher) habe ich die Zeilen jeweils gleich 0 (also Nullvektor) gesetzt und als Ergebnis bekommen, dass

x1 = 3*x2 ist und x2 = x1/3. Sonst x3=x4=x5=0."

Wenn ich dich richtig verstehe, hast du auch genau das versucht. Du hast dich lediglich beim Lösen des LGS verrechnet und daher auch falsche Ergebnisse bekommen. 

  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Welche Matrix A hast du denn verwendet? Die von maccheroni_konstante oder meine?

 
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Die aus der Aufgabenstellung.

Durch elementare Umformungen bin ich aber ebenfalls auf die Darstellung von Maccheroni gekommen (bzw. habe ich den führenden Eintrag noch normiert).

  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Und wie komme ich nun auf die obigen Werte für den Kern? Ich komme da bei einer Nachrechnung nie hin.

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen
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Hallo, ich komme für die Matrix A auf rank=2. Am Ende erhalte ich: \(\begin{pmatrix} -3 & 9 &14 &29 &-30 \\ 0& 0& -20/3 &-8/3 &8 \\ 0 & 0& 0 &0 & 0\\ 0& 0 & 0& 0 &0 \end{pmatrix}\)  
geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Ich komme jetzt auch auf rank=2. Nur mit folgender Matrix:

\(\begin{pmatrix} -1 & 3 &-2 &7 &-2 \\ 0& 0& 5&2 &-6 \\ 0 & 0& 0 &0 & 0\\ 0& 0 & 0& 0 &0 \end{pmatrix}\)

Das sollte doch auch stimmen, nicht?

Nun ist noch die Frage, wie ich an die Basis des Kerns gelange.

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen
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Hallo, "Nun ist noch die Frage, wie ich an die Basis des Kerns gelange."- Das ist dann jetzt auch schnell gemacht. \(Ker\left ( A \right )=\left \{ x\in\mathbb{Q}^5\middle|Ax=0 \right \}=\left \{ \begin{pmatrix} \frac{39}{5}x_4-\frac{22}{5}x_5+3x_2\\x_2 \\-\frac{2}{5}x_4+\frac{6}{5}x_5 \\x_4 \\x_5 \end{pmatrix} \right \}\) Jetzt können wir einfach ablesen: \(\Rightarrow \) \(B_{Ker\left ( A \right )}=\left \{ \begin{pmatrix} \frac{39}{5}\\0 \\-\frac{2}{5} \\1 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -\frac{22}{5}\\0 \\\frac{6}{5} \\0 \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\1 \\0 \\0 \\0 \end{pmatrix} \right \}\)   Gruß, Gauß
geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 
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