Methode von Lagrange


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Kann mir jemand den Rechenweg aufzeigen von der Aufgabe? Ermitteln Sie nach der Methode von Lagrange die Stelle(n), an der bzw. an denen die notwendige Bedingung für lokale Extrema der gegebenen Funktion unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt ist:
  1. Maximiere die Funktion U(x,y) = x^(1/3) *  y^(1/3)
  2. unter der Nebenbedingung: 2x + y = 3
  3. Lösung (0,5 ; 2)

 

gefragt vor 10 Monate, 2 Wochen
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janmann,
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4 Antworten
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Schon wieder? Das selbe Problem hatten wir doch bereits: https://letsrockmathe.de/fragen/mathefragen/bestimmung-lokaler-extrema-von-funktionen-mehrerer/
geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Schickst Du es mir nochmal ;-) ?

 
  -   janmann, kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen

Mache ich morgen.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 10 Monate, 2 Wochen
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geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
j
janmann,
Student, Punkte: 16
 
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So, ich löse mal a, ich denke, dann sollte b auch kein Problem mehr darstellen.

a)

\(U(x,y)=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}\) unter der Nebenbedingung \(2x+y=3\) maximieren.

1. Lagrange Funktion aufstellen:\( L(x,y,\lambda )=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}+\lambda(2x+y-3)\)

2. Nach allen drei Variablen ableiten und nullsetzen: \(\bigtriangledown \lambda=0\)

I: \(L_x=\dfrac{y^\frac{2}{3}}{3x^\frac{2}{3}}+2\lambda =0\)

II: \(L_y=\dfrac{2\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{y}}+\lambda=0\)

III: \(L_\lambda=y+2x-3=0\)

3. Lambda eliminieren (Additionsverfahren) (I - 2*II):

IV: \(\dfrac{4 x - y}{\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}} = 0\)

4. Gleichungssystem lösen:

III: \(2x+y-3=0\)

IV: \(\frac{4 x - y}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}} = 0\)

\(\Rightarrow x=0.5,y=2\)

\(U(0.5,2)=\sqrt[3]{2}\)

geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Vielen Dank!!!!
geantwortet vor 10 Monate, 2 Wochen
j
janmann,
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